费马原理：反射、折射与透镜聚焦的共同规则

一句话结论：光走的是光程取驻值的路径；反射定律、斯涅尔定律和透镜的等光程聚焦都是它的几何结果。

救生员该在哪里下水

沙滩上有人溺水。救生员在沙滩上跑得快，在水里游得慢。从起点到溺水者，直线距离最短，但沿直线直接下水不一定最快：多跑一段沙滩、少游一段水，可能更早到达。把岸边每个可能的下水点都算一遍，最快的那条路会在某一点拐弯，拐点由跑步和游泳的速度比决定。

光在两种介质的界面上弯折，和这个选择是同一个数学问题。光在空气里快，在水或玻璃里慢；从一点到另一点，它并不沿几何距离最短的直线走；实际路径是传播时间取驻值的那条。用变分语言说，这条路径使传播时间的一阶变分为零。这个说法不需要假设光会“思考”或“选择”，它只是描述光场在短波长极限下相位叠加的结果。

本文要回答三个问题：光程和驻值条件到底怎么写？反射定律与斯涅尔定律怎样从同一个条件推出来？透镜为什么必须做成特定的非球面形状，球面又会留下多少偏差？

光程：把快慢折算成距离

光在真空中的速度是 $c$，在折射率为 $n$ 的介质中速度是 $v=c/n$。走一段几何路程 $\mathrm{d}s$，所用时间是 $\mathrm{d}s/v=n\,\mathrm{d}s/c$。把折射率乘进路程，定义光程（optical path length）为

$$ L=\int_A^B n(\mathbf r)\,\mathrm{d}s . $$

于是传播时间 $t=L/c$。在折射率均匀的介质中，$n$ 是常数，$L=n\,s$，光程正比于几何路程，光走直线。在折射率不均匀或跨过界面的情形，$n$ 随位置改变，光程把介质中的慢速折算成额外的路程，路径的比较就变成光程积分的比较。

费马原理（Fermat’s principle） 说：在给定起点和终点之间，光实际走的路径使 $L$ 的一阶变分为零，

$$ \delta L=\delta\int_A^B n(\mathbf r)\,\mathrm{d}s=0 . $$

“一阶变分为零”的意思是，把路径稍微改一点，光程的变化在最低阶上为零；这条路径是光程的驻值路径。历史上它被称为“最短时间原理”，在均匀介质的平面反射和折射中，这个驻值确实是极小值；但在更一般的几何里，同一条件也可能对应极大或鞍点，所以“驻值”比“最小”更准确。本文讨论的平面界面和轴上聚焦，都属于可以直接算出极值的简单情形。

光程还有一个直接用途：两束光的光程差决定相位差，$\Delta\varphi=2\pi\,\Delta L/\lambda$。干涉仪、相位测量和透镜设计中的“等光程”要求，都是从这条关系来的。

反射：镜像法给出等角条件

先看最简单的界面：一面平面镜。设 A、B 在镜面同侧，到镜面的垂直距离分别为 $a$、$b$，两点在镜面上的投影相距 $l$。光从 A 出发，经镜面上某点 P 反射后到达 B。设 P 到 A 的投影的距离为 $x$，则总路径长度是

$$ s(x)=\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+(l-x)^2}. $$

对 $x$ 求导：

$$ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x} =\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{l-x}{\sqrt{b^2+(l-x)^2}}. $$

令导数为零。注意 $x/\sqrt{a^2+x^2}$ 是入射光线与法线夹角的正弦，$(l-x)/\sqrt{b^2+(l-x)^2}$ 是反射光线与法线夹角的正弦，于是

$$ \sin\theta_i=\sin\theta_r,\qquad \theta_i=\theta_r . $$

这就是反射定律：入射角等于反射角，角都从法线量起。

同一个结果可以用镜像法一眼看出。把 B 关于镜面作镜像得到 B′，则 $PB=PB'$，路径 A→P→B 的长度等于 A→P→B′。A 到 B′ 的直线是两点间最短路径，它与镜面的交点就是 P，所以 P 确实给出极小值。图 1 把这两种看法画在一起：左图是几何关系，右图是把不同反射点的路径长度算出来的曲线。

图 1：(a) A、B 在镜面同侧，A→P→B 为实际反射路径；B′ 是 B 关于镜面的镜像，A→B′ 与镜面交于 P，因此 A→P→B 与 A→B′ 等长。(b) 取 a=b=1.00 m、l=2.00 m，路径长度 s(x) 在 x=1.00 m 处取极小值 2.828 m；x=0.50 m 时 s=2.921 m。

代入具体数字：$a=b=1.00$ m、$l=2.00$ m 时，极小点在 $x=1.00$ m，路径长度 $s=2\sqrt{2}=2.828$ m。把反射点挪到 $x=0.50$ m，路径变成 $2.921$ m，只长了 $0.092$ m，对应的时间差约 $0.31$ ns。路径长度在极小点附近是平的，所以反射点稍微偏一点，光程只按二次方增加；这也是为什么用“令导数为零”而不是“比较所有路径”就能找到它。

折射：斯涅尔定律是时间极值的解

把平面镜换成两种透明介质的界面，问题多了一个变量：光在两侧的速度不同。设界面上方是折射率 $n_1$ 的介质，下方是 $n_2$ 的介质；A 在界面上方高度 $a$ 处，B 在界面下方深度 $b$ 处，两点在界面上的投影相距 $l$。光从 A 出发，在界面上的 P 点折射后到达 B，P 到 A 的投影的距离为 $x$。

传播时间等于两段路程各自除以速度：

$$ t(x)=\frac{n_1\sqrt{a^2+x^2}}{c}+\frac{n_2\sqrt{b^2+(l-x)^2}}{c}. $$

对 $x$ 求导并令其为零：

$$ \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} =\frac{n_1x}{c\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{n_2(l-x)}{c\sqrt{b^2+(l-x)^2}}=0. $$

两边乘以 $c$，再把两个分式认成角的正弦。$x/\sqrt{a^2+x^2}=\sin\theta_1$，$(l-x)/\sqrt{b^2+(l-x)^2}=\sin\theta_2$，于是

$$ n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2 . $$

这正是斯涅尔定律。图 2 画出了空气到水的具体几何：入射角 30.0°，水的折射率取 1.333，代入公式得 $\sin\theta_2=0.500/1.333=0.375$，折射角约 22.0°。这个数值与教材中的折射率表和斯涅尔定律一致。

图 2：空气（$n_1=1.000$）到水（$n_2=1.333$）的界面、法线、入射光线与折射光线。入射角 30.0°，折射角 22.0°；光线从光疏介质进入光密介质，折射光线向法线靠拢。

这里有一个容易被忽略的细节：令导数为零得到的是驻值条件，不是“所有路径里取最小值”的证明。在平面界面、两侧都是均匀介质的常见情形，二阶导数为正，驻值确实是极小值；如果界面形状特殊或介质不均匀，同一条件也可能给出极大或鞍点。物理内容在于一阶变分为零，而不在于“最小”这个词。

如果光从水射向空气，$n_1>n_2$，折射角大于入射角。入射角增大到临界角时，$\sin\theta_2=(n_1/n_2)\sin\theta_1$ 刚好等于 1；超过这个角度，方程没有实数解，折射光消失，光全部反射回水中。水到空气的临界角约 48.6°。这部分机制在站内全反射原理里已经展开，本文只用它说明：折射公式的失效本身也是费马条件在界面上给出的边界。

透镜：把等光程变成一片曲面

平行于光轴的光线经过凸透镜后会聚到像方焦点，经过凹透镜后发散、反向延长线交于虚焦点。图 3 是薄透镜的这一基本事实。

图 3：(a) 平行于光轴的光线入射双凸透镜后会聚到像方焦点 F；(b) 入射双凹透镜后发散，反向延长线交于虚焦点。f 为焦距。

费马原理要追问的是：透镜的曲面为什么能让所有平行光同时到达 F？答案不只是“透镜把光折弯了”；更关键的是从同一入射波前到焦点的每条光路，光程必须相等。如果某条路径短了，就让该处的玻璃厚一点，用 $n>1$ 的额外光程补上；如果长了，就把玻璃减薄。透镜的形状由这个“补光程”的要求反解出来。

为简化，取一片平凸透镜：出射面是平面，入射面是待求的曲面。设光沿 $x$ 方向传播，出射面在 $x=0$，入射面在 $x=-t(r)$，$r$ 是离光轴的高度，焦距为 $f$，玻璃折射率为 $n$。把透镜看成一个相位屏：光线从参考平面 $x=-t_0$ 到入射面走过 $t_0-t(r)$ 的空气，在玻璃中走过 $t(r)$，出射后沿直线到焦点、走过 $\sqrt{f^2+r^2}$ 的空气。三段相加，再减去公共的 $t_0$，总光程是

$$ (n-1)t(r)+\sqrt{f^2+r^2}. $$

等光程要求这个量对所有 $r$ 都相同。在 $r=0$ 处，$t(0)=t_0$，常数为 $(n-1)t_0+f$，于是

$$ t(r)=t_0+\frac{f-\sqrt{f^2+r^2}}{n-1}. $$

这就是等光程曲面的厚度分布。它的形状是二次曲面，不是球面；在近轴近似下，$\sqrt{f^2+r^2}\approx f+\dfrac{r^2}{2f}$，厚度近似为

$$ t(r)\approx t_0-\frac{r^2}{2f(n-1)}, $$

是一个抛物面。精确面与抛物面的差别是高阶项，半径越大越明显。

代入一组具体数字：$f=50.0$ mm、$n=1.50$、中心厚度 $t_0=6.00$ mm、口径半径 $r=10.0$ mm。边缘厚度为

$$ t(10.0)=6.00+\frac{50.0-\sqrt{50.0^2+10.0^2}}{1.50-1}=4.02\ \mathrm{mm}, $$

比中心薄 $1.98$ mm。核对光程：中心处 $(1.50-1)\times6.00+50.0=53.00$ mm；边缘处 $(1.50-1)\times4.02+\sqrt{50.0^2+10.0^2}=2.01+50.99=53.00$ mm，两边一致。

如果为了加工方便，把入射面做成球面，会发生什么？让球面在中心和边缘都与等光程曲面吻合，球面半径约为 $R=26.24$ mm。中心和边缘的光程仍然对得上，但中间部分对不上：在 $r\approx7.1$ mm 处，球面透镜的光程比理想值多出约 $0.0121$ mm，相当于 $22.1$ 个 $550$ nm 波长。这个偏差就是球面透镜的球差在光程上的表现。图 4 把厚度剖面、球面偏差和光程偏差画在一起。

图 4：(a) $f=50.0$ mm、$n=1.50$、中心厚度 6.00 mm 的等光程透镜剖面，出射面为平面，入射面位于 $x=-t(r)$；灰线为入射光路，蓝线为出射光路，F 为焦点。(b) 与中心、边缘都吻合的球面相对等光程曲面的厚度偏差，最大约 24.3 μm。(c) 球面透镜相对等光程条件的光程偏差，最大约 22.1 个 550 nm 波长；非球面保持为零。

这也解释了大孔径镜头为什么常加入非球面镜片：在同样的口径下，球面只能让中心和边缘对上，中间会偏离等光程；非球面则把整个孔径的自由度留给“等光程”。球差的几何来源、光圈与衍射的取舍，在站内光学像差原理里有更完整的分析；薄透镜的物距、像距和放大率则由薄透镜成像原理承接。本文不再重复这两部分，只保留费马原理给出的曲面条件。

渐变折射率：光在介质内部也能拐弯

前面的界面都是“两种均匀介质突然相接”。如果折射率随位置连续变化，费马原理仍然适用，只是路径不再由一次折射决定。把介质切成很多很薄的层，每一层内 $n$ 近似为常数，在相邻层的界面上用斯涅尔定律；层足够薄时，折线就变成一条光滑曲线。光会朝着折射率变化的方向逐渐偏折，不需要一个明确的“界面”。

渐变折射率（gradient-index，GRIN）透镜就是利用这一点工作的。它的端面是平的，折射率从中心轴向外按近似抛物线下降，光在介质内部连续折射，而不是靠表面曲率会聚。典型用法是四分之一节距（0.25 P）：把端面上的点源准直成平行光，或把平行光聚焦到输出端面。光纤准直、光纤到光纤的耦合、激光二极管耦合和内窥镜成像都会用到这种小尺寸的柱状透镜。

从光程要求看，GRIN 透镜和前面的非球面透镜没有本质区别：两者都在安排折射率或厚度的空间分布，让从物点到像点的各条光程相等。区别只在于一个把变化做在表面上，另一个把变化做在材料内部。制造和装配上，GRIN 透镜的端面是平的，对接光纤更方便；非球面透镜则要把曲面加工和检测得更精确，成本更高。

同一个条件的三种写法

把反射、折射和聚焦放在一起，可以看到它们共享同一个变分条件，只是边界条件不同。

表 1：反射、折射和聚焦的费马条件对照。

情形	光程条件	几何结果	典型器件
反射	路径长度对反射点位置的导数为零	入射角等于反射角	平面镜、角反射器
折射	传播时间对界面交点的导数为零	$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$	棱镜、透镜界面
聚焦	从入射波前到焦点的各条光程相等	等光程曲面（非球面）	非球面透镜、抛物面镜

反射和折射是“在界面上选一个点”，让总光程对那个点的位置取驻值；聚焦是“让一整族路径同时满足”等光程。前者给出局部的角度关系，后者给出整个曲面的形状。费马原理之所以能把它们放在同一句话里，是因为它比较的对象始终是光程，而不是某一条光线的几何长度。

适用边界

费马原理是几何光学的短波长极限。它假设波长比孔径、界面尺度和传播距离都小得多；当孔径小到与波长相当，衍射会使光强分布展开，光线概念本身开始失效。这时费马条件仍然可以作为相位驻定条件的近似，但“光走哪条路”要换成对波场做衍射积分，强度分布也要由波动光学计算。

推导中还默认介质各向同性、无吸收。双折射晶体中，不同偏振方向的折射率不同，光会分成两束，费马原理要针对各自的折射率面分别使用；有吸收的介质中折射率是复数，光程的虚部描述衰减。这些情形并没有推翻公式，只是把 $n$ 从一个实数换成一个更复杂的响应函数。

“驻值”也不等于“最小”。在平面界面、均匀介质的常见情形，驻值确实是极小值；在特殊几何或非均匀介质中，同一条件也可能给出极大或鞍点。把费马原理记成“光走最短路径”会在这类问题上出错，记成“光程的一阶变分为零”才与推导一致。

对透镜设计来说，等光程给出的是轴上、单色、理想几何下的曲面条件。离轴视场、材料色散、衍射极限、加工和装配误差都要另外计算；非球面能消除一部分球差，但不会自动解决色差和离轴像差。费马原理在这里的作用，是给出“理想面应该长什么样”的基准，而不是替代完整的镜头设计。

把这几条边界记住，费马原理就不只是一句“光走最短路径”的口号，而是一条能推出公式、也能反过来决定器件形状的条件。

参考资料

1. MIT OpenCourseWare. 2.71/2.710 Optics, Lecture 1: Geometrical optics; Fermat’s principle. https://ocw.mit.edu/courses/2-71-optics-spring-2009/81849f5c7048c7d3289b02cffddb5e21_MIT2_71S09_lec01.pdf
2. MIT OpenCourseWare. 2.71/2.710 Optics, Lecture 3: Perfect focusing; paraboloidal reflector and ellipsoidal refractor. https://ocw.mit.edu/courses/2-71-optics-spring-2009/21d0d2d809a12ea75f386d65df3b3af8_MIT2_71S09_lec03.pdf
3. MIT OpenCourseWare. 2.71/2.710 Optics (Spring 2009) 课程页. https://ocw.mit.edu/courses/2-71-optics-spring-2009/
4. Jeremy Tatum. Physical Optics, 1.1: Reflection and Refraction. LibreTexts. https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Optics/Physical_Optics_(Tatum)/01%3A_Reflection_and_Refraction_via_Fermat's_Principle_and_Huygens'_Construction/1.01%3A_Reflection_and_Refraction
5. OpenStax, Rice University. University Physics Volume 3, 1.3: Refraction. https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/1-3-refraction
6. OpenStax, Rice University. University Physics Volume 3, 1.4: Total Internal Reflection. https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/1-4-total-internal-reflection
7. OpenStax, Rice University. University Physics Volume 3, 2.4: Thin Lenses（含图 3 的透镜示意图）. https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/2-4-thin-lenses
8. RP Photonics AG. Gradient-index Lenses – Buyer’s Guide. https://www.rp-photonics.com/bg/buy_gradient_index_lenses.html