光的折射定律：斯涅尔定律与折射率

引言：鱼缸里的鱼为什么“分身”了？

侧面观察鱼缸的角落，有时会看到同一条鱼出现在两个位置。图 1 左侧示意了这个现象：鱼身上发出的光在水中传播，到达水面或玻璃面时传播方向发生改变，其中一部分光经由鱼缸的一个侧面、另一部分经由相邻侧面分别进入眼睛，两条不同的光路让大脑“推算”出两个位置；右侧是真实鱼缸的照片。

图 1：光离开水面时方向改变，同一条鱼可以沿两条不同光路到达眼睛，看起来就像出现了两个位置。

这个“光路改变”就是折射（refraction）。光从一种介质进入另一种折射率不同的介质时，传播方向会发生改变。折射对应的现象远不止鱼缸：透镜成像、光纤通信、彩虹与海市蜃楼都建立在同一条定律之上。

这篇文章要回答三个问题：折射率到底是什么？折射角由什么决定？为什么光的弯折规律是斯涅尔定律（Snell’s law），而不是别的什么规则？

折射率：光在介质里“变慢”多少

光在真空中的速度 $c\approx 3.00\times 10^8\ \mathrm{m/s}$，这是自然界允许的最高速度。进入透明材料后，光与材料中的原子相互作用，传播速度 $v$ 会下降。折射率（refractive index） 的定义就是真空光速与介质中光速之比：

$$
n=\frac{c}{v}
$$

折射率越大，说明光在该介质中走得越慢。真空的折射率正好是 1；空气非常接近 1；水约 1.33；常见玻璃在 1.5 左右。下面列出几种常见材料在 589 nm 真空波长下的折射率（这一波长正是钠灯黄光的中心波长，也是光学教材常用参考点）：

表 1：常见材料在 589 nm 真空波长下的折射率（数据见文末参考资料）。

介质	折射率 $n$
空气（0°C、1 atm）	1.000292
水（20°C）	1.333
冕牌玻璃	1.52
火石玻璃	1.66
金刚石	2.419

由 $n=c/v$ 可以推出一个容易忽视的结论：光进入介质后，波长会缩短，但频率不变。频率由光源决定，进入介质后不会改变；由 $v=f\lambda$ 和 $v=c/n$ 可得介质中波长

$$
\lambda_n=\frac{\lambda_0}{n}
$$

其中 $\lambda_0$ 是真空波长。例如 550 nm 的绿光进入水中，波长变成 $550/1.333\approx 413\ \mathrm{nm}$，但颜色看起来没有变化——人眼感知的颜色由频率决定，而频率没有变。

还有一个常见误区需要澄清：折射率并不与密度简单对应。金刚石和玻璃都比水重得多，折射率也确实更高，但反过来不成立——例如冰的折射率（约 1.31）反而略低于水，而乙醇比水轻、折射率（约 1.36）却高于水。折射率反映的是材料中原子对光的响应速度，不是单纯的“疏密程度”。

斯涅尔定律：折射角由什么决定

光斜着照到两种介质的界面上，入射光线与法线（normal，过入射点、垂直于界面的直线）的夹角叫入射角 $\theta_1$，折射光线与法线的夹角叫折射角 $\theta_2$。实验与理论都表明，两者不是简单的正比关系，而是由斯涅尔定律联系：

$$
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2
$$

其中 $n_1$、$n_2$ 分别是入射侧与折射侧介质的折射率。这条定律以荷兰科学家斯涅尔（Willebrord Snellius）的名字命名。

图 2：(a) 光从空气以 30.0° 入射水面，折射角约为 22.0°，向法线靠拢；(b) 光从水以 30.0° 射向空气，折射角约为 41.8°，远离法线。灰色虚线是法线。

图 2 把定律变成了可见的几何关系：光从折射率较小的介质进入折射率较大的介质时（空气→水），折射角小于入射角，光线向法线靠拢；反过来从水射向空气时，折射角大于入射角，光线远离法线。光线路径完全可逆——沿着折射光线的反方向入射，会沿原入射光线的反方向射出。

这条定律也给出了测量折射率的经典方法。比如从空气（$n_1=1.00$）以 30.0° 入射，测得折射角 22.0°，由定律反解：

$$
n_2 = n_1\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = 1.00\times\frac{0.500}{0.375} = 1.33
$$

得到的 1.33 正是水的折射率——这也是历史上确定材料折射率的实验思路之一。

为什么公式里出现的是正弦而不是角度本身？一个直观解释是：波前到达界面时，相邻波前与界面的交点间距正比于 $1/\sin\theta$（入射角越小，波前越“平贴”界面，交点间距越大）。为了让两侧的波在界面上“接得上”，入射侧与折射侧必须满足同一个几何约束，正弦就自然地出现。下面两种严格推导会把这个几何约束讲清楚。

两种推导：费马原理与惠更斯原理

费马原理（Fermat’s principle） 说，光在两点之间实际走过的路径，是使光程（或传播时间）取极值的路径。均匀介质中光走直线；跨过界面时，光必须选一个“合适的入射点”来平衡两侧的路径长度。设界面为水平线，光从上方介质中的点 A 射向下方介质中的点 B，入射点到 A、B 的水平距离分别为 $x$ 与 $d-x$，垂直距离分别为 $a$ 与 $b$，则总传播时间为

$$
t=\frac{n_1\sqrt{x^2+a^2}}{c}+\frac{n_2\sqrt{(d-x)^2+b^2}}{c}
$$

对 $x$ 求极值（$\mathrm{d}t/\mathrm{d}x=0$），注意 $\sin\theta_1=x/\sqrt{x^2+a^2}$、$\sin\theta_2=(d-x)/\sqrt{(d-x)^2+b^2}$，立刻得到

$$
\frac{n_1\sin\theta_1}{c}=\frac{n_2\sin\theta_2}{c}
\quad\Rightarrow\quad
n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2
$$

费马原理说明：光“选择”的那条路径，恰好让两边的正弦比值与折射率比值匹配，弯折不是任意的，而是时间极值的必然结果。

惠更斯原理（Huygens’ principle） 从波的角度给出同样结论：波前上的每一点都可以看作新的次级子波源，所有子波的包络构成下一时刻的波前。图 3 画出了平面波从空气进入水的瞬间：介质 1 中的入射波前是绿色平行线，波前与界面的交点为 $P_0$、$P_1$、$P_2$；进入介质 2 后，每个交点发出半径 $v_2t$ 的半圆子波（蓝色虚线）。因为光在水里更慢，同一时间间隔内波前在介质 2 中推进的距离 $v_2t$ 明显小于介质 1 中的 $v_1t$，所有子波的包络形成一条向法线倾斜的折射波前（蓝色实线），折射光线就是这条波前的垂线。

图 3：同一时间间隔内，波前在空气与水中的推进距离分别为 $v_1t$ 与 $v_2t$（$v_2<v_1$），子波包络形成的折射波前向法线倾斜。

从图 3 的几何关系可以直接读出斯涅尔定律：界面上的交点间距 $P_0P_1=v_1t/\sin\theta_1=v_2t/\sin\theta_2$，所以

$$
\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}
$$

两种推导殊途同归：费马原理从“路径取极值”出发，惠更斯原理从“波前逐点重建”出发，得到的是同一条定律。这也说明折射定律是波动现象的几何体现，不依赖某一种具体模型——甚至可以从光子束的粒子图像导出同样的结果。

表观深度：水下的东西看起来更浅

站在岸边看水中的硬币或鱼，它们的位置看起来比实际更浅、也更靠近水面。原因是光从水中射向空气时远离法线，折射光线的反向延长线在水面以上“汇合”的位置比真实位置更浅。

用斯涅尔定律可以定量估算这个偏移。设物体在水下深度 $d$ 处，眼睛近似垂直向下观察（入射角与折射角都很小）。此时 $\sin\theta\approx\tan\theta$，把斯涅尔定律 $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$ 展开，可以得到表观深度 $d’$ 的近似公式：

$$
d’\approx d\cdot\frac{n_2}{n_1}
$$

其中 $n_1$ 是光离开介质的折射率（水），$n_2$ 是观察侧介质的折射率（空气）。例如一个 2.0 m 深的泳池，从正上方垂直看，池底看起来大约在 $2.0\times 1.00/1.33\approx 1.5\ \mathrm{m}$ 处。这个结论只在小角度近似下成立：斜着看时偏差更大，这也是图 1 里鱼会“分身”、而垂直俯视时位置偏移较小的原因。

折射改变光路：从棱镜到大气

折射定律在器件和自然现象中反复出现，这里看两个典型例子。

棱镜与色散。 白光斜着穿过棱镜时，不同波长的光在同一种玻璃里的折射率略有不同（波长越短，折射率越大），因此偏折角度不同，白光被展开成彩色光谱。棱镜是“折射率随波长变化”的直接展示，也是光谱仪的核心元件。

临界角与全反射。 光从光密介质射向光疏介质时，折射角随入射角增大而增大；当折射角达到 90° 时，折射光线贴着界面掠过。若入射角继续增大，不再有折射光，能量全部被反射回原介质——这就是全反射。金刚石的高折射率（2.419）使临界角很小，光进入后很容易满足全反射条件，这是钻石闪耀的物理原因之一；光纤传输也依赖这个原理。

大气折射。 空气的折射率约为 1.0003，接近真空，但并非完全均匀——越靠近地面空气越密、折射率略高。光斜穿密度渐变的空气层时，传播方向被连续不断地微小弯折。日落时太阳看起来比真实位置偏高，正是大气折射的功劳；闪烁的星光、公路上的海市蜃楼，也都是折射率随温度、密度变化导致的路径弯曲。

回头再看鱼缸里的那条鱼：它之所以“分身”，与棱镜里的彩虹、钻石里的闪耀、天边的落日出自同一条定律。折射率衡量光在材料中变慢的程度，斯涅尔定律用 $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$ 精确描述弯折的角度，而费马原理与惠更斯原理分别从路径和波前的角度解释了这条定律为什么成立。理解了折射，几何光学的大门就打开了一半。

参考资料

1. OpenStax, Rice University：《University Physics Volume 3》1.4 Refraction（CC BY 4.0，LibreTexts 镜像）。https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_(OpenStax)/University_Physics_III_-_Optics_and_Modern_Physics_(OpenStax)/01%3A_The_Nature_of_Light/1.04%3A_Refraction
2. OpenStax, Rice University：《University Physics Volume 3》1.7 Huygens’s Principle（CC BY 4.0，LibreTexts 镜像）。https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_(OpenStax)/University_Physics_III_-_Optics_and_Modern_Physics_(OpenStax)/01%3A_The_Nature_of_Light/1.07%3A_Huygenss_Principle
3. OpenStax, Rice University：《University Physics Volume 3》1.2 The Propagation of Light（CC BY 4.0，LibreTexts 镜像）。https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_(OpenStax)/University_Physics_III_-_Optics_and_Modern_Physics_(OpenStax)/01%3A_The_Nature_of_Light/1.02%3A_The_Propagation_of_Light
4. D. Drosdoff, A. Widom：《Snell’s Law from an Elementary Particle Viewpoint》，arXiv:physics/0502054（预印本，作者保留版权）。https://arxiv.org/abs/physics/0502054
5. R. Paschotta：《Refraction》，RP Photonics Encyclopedia（版权归 RP Photonics，仅引用事实与链接）。https://www.rp-photonics.com/refraction.html