偏振片与马吕斯定律：透射光强为什么按余弦平方变化

一句话结论：理想偏振片只放行电场沿透振轴的分量，透射强度按 $I=I_0\cos^2\theta$ 变化，周期为 $180^\circ$，自然光过一片后剩一半。

从旋转两片偏振片开始

把两片偏振片叠在一起，一片固定，另一片慢慢转。视场会从最亮变暗，转到某个角度几乎全黑，再继续转又亮起来。转满一圈，明暗循环出现两次，不是一次。这个现象看起来像偏振片在周期性开合，其实偏振片本身没有变化，变的是两片透振轴之间的夹角。

要解释它，先分清两种入射光。太阳、白炽灯和大多数热光源发出的是自然光（unpolarized light）：光源里大量原子各自独立发光，波列的振动方向随机分布，彼此没有固定相位关系。单看某一小段波列，电场有确定方向；把所有波列放在一起做时间平均，垂直传播方向的各个方向大致等权。另一种是线偏振光（linearly polarized light）：电场的振动方向固定在一个方向上，比如由上一片偏振片选出来的光。

偏振片的作用是选方向。常见的二向色型偏振片里，长链分子沿一个方向排列；电场平行于分子链的分量驱动电子振荡，能量被吸收，垂直分量则容易通过。允许通过的方向叫透振轴（transmission axis）。把偏振片放在光路里，它不改变入射光的频率，只把电场投影到透振轴上，再丢掉垂直分量；出射光的振动方向因此沿透振轴。理解这一点，后面的余弦平方就是一次投影加一次平方。

图 1：线偏振光的电场 $\mathbf{E}$ 与透振轴成 $\theta$ 角，只有沿透振轴的分量 $E\cos\theta$ 通过，垂直分量被吸收；透射光强随 $\cos^2\theta$ 下降。

电场投影为什么变成余弦平方

设入射线偏振光的电场振幅为 $E_0$，振动方向与透振轴的夹角为 $\theta$。把电场分解成沿透振轴和垂直透振轴的两个分量：

$$E_{\parallel}=E_0\cos\theta,\qquad E_{\perp}=E_0\sin\theta.$$

理想偏振片让 $E_{\parallel}$ 通过，把 $E_{\perp}$ 吸收或反射掉。出射光仍是线偏振，振动方向沿透振轴，振幅变成 $E_0\cos\theta$。光强正比于电场振幅的平方，所以

$$I=I_0\cos^2\theta.$$

这就是马吕斯定律（Malus’s law）。$I_0$ 是入射偏振光的光强，$\theta$ 是入射电场与透振轴的夹角。公式里没有 $E_0$ 的一次项，因为光强对应的是振幅平方；也没有 $\sin\theta$ 的贡献，因为垂直分量没有通过。

代入几个角度就能看出曲线的形状。$\theta=0^\circ$ 时 $\cos^2 0=1$，光全部通过；$\theta=45^\circ$ 时 $\cos^2 45^\circ=1/2$，剩一半；$\theta=60^\circ$ 时 $\cos^2 60^\circ=1/4$，只剩四分之一；$\theta=90^\circ$ 时 $\cos 90^\circ=0$，理想情况下完全消光。角度超过 $90^\circ$ 后，$\cos\theta$ 变号，但平方又回到正值，所以 $100^\circ$ 和 $80^\circ$ 的透射光强相同。电场方向反转 $180^\circ$ 描述的是同一个物理状态，偏振片分不出 $+E$ 和 $-E$。

这个式子有明确的适用条件：入射光已经是完全线偏振的，偏振片是理想的，光束垂直入射，吸收和表面反射可以忽略。若入射的是自然光，不能直接把 $I_0$ 代进去；若偏振片消光比有限，$\theta=90^\circ$ 处也不会真的为零。这两种情况后面分别处理。

自然光过一片为什么恰好剩一半

自然光可以看成所有方向线偏振的等权混合。对其中一个方向，透射因子是 $\cos^2\theta$；把所有方向按角度平均，得到

$$\frac{\langle I\rangle}{I_0}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta d\theta=\frac12.$$

所以理想偏振片放在自然光前面，透射光强是入射光强的一半，出射光变成沿透振轴的线偏振。这个”一半”不是偏振片额外加了一个 50% 的衰减片，而是投影的平均结果：有些波列的电场接近透振轴，几乎全过；有些接近垂直，几乎全被吸收；平均下来正好一半。

一个数值对、理由错的推导

常见的说法是：自然光就是水平线偏振和垂直线偏振各占一半，通过偏振片时，每一半各自投影，平均下来还是一半。算出来的 $1/2$ 没错，但中间这一步把”统计混合”当成了”相干叠加”。

如果自然光真是两束振幅相等、相位固定的正交线偏振光，它们在到达偏振片之前就已经合成一个确定的偏振态。取两束同相，电场写成

$$\mathbf{E}=\frac{E_0}{\sqrt2}\left(\hat{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{y}}\right),$$

这是沿 $45^\circ$ 方向的线偏振光：检偏器转到 $45^\circ$ 全部通过，转到 $135^\circ$ 完全被挡。预测是一条完整的 $\cos^2$ 调制曲线，而不是恒定的 $1/2$，与实验直接矛盾。

要让透射恒为 $1/2$，两个正交分量必须互不相干：它们的相对相位在探测时间内随机变化，交叉项 $\langle E_xE_y^*\rangle$ 的平均值为零，相加的是光强而不是振幅。热光源里每个原子独立自发辐射，波列的持续时间由谱宽决定，$\tau_c\sim1/\Delta\nu$；可见光带宽对应 $\tau_c$ 在 $10^{-15}$ s 量级，而功率计的积分时间在毫秒量级，一次读数已经平均掉约 $10^{11}$ 个独立相干区间。所以这个”一半”是大量独立波列的统计平均，不是某一列波的性质，也不能理解成”每个光子一半在 $x$、一半在 $y$”。

自然光经过第一片偏振片后，后面的事情就简单了。第二片只看到一束线偏振光，透射光强按马吕斯定律再乘一次 $\cos^2\theta$，这里的 $\theta$ 是两片透振轴的夹角：

$$I=\frac{I_0}{2}\cos^2\theta.$$

图 2：两片偏振片相对旋转。(a) 透振轴平行，第一片选出的线偏振光全部通过第二片；(b) 第二片转过一定角度，只通过平行于其透振轴的分量；(c) 两片正交，理想情况下光被完全挡住；(d) 实物照片中三片偏振片重叠区域的明暗。

拿 10 mW 的自然光走一遍。第一片后剩 5 mW。第二片与第一片平行时，5 mW 全过；成 45° 时，$5\times\cos^2 45^\circ=2.5$ mW；成 90° 时，$5\times0=0$ mW。如果直接把 $I_0\cos^2\theta$ 套到自然光上，平行时会算出 10 mW，是正确值 5 mW 的两倍；这个式子只描述第二片对已偏振光的投影，漏掉了第一片先取一半。先取一半，再乘第二片的投影，才是两片偏振片串起来的完整链路。

实际偏振片还有吸收和表面反射。二向色型偏振片对自然光的透射率通常低于理想的 50%，常见产品在 38% 左右；部分双折射棱镜可以高于 49.9%。所以实验里测到的平行位置透射光强，通常比”入射光强的一半”略低。这个差额来自器件损耗，不改变马吕斯定律的角度依赖。

三片偏振片：正交全黑，中间加一片反而变亮

两片正交偏振片之间没有光通过，这是马吕斯定律在 $\theta=90^\circ$ 的直接结果。现在让第一片和最后一片保持正交，在它们之间插入一片偏振片，并把它转到与第一片成 $45^\circ$。按直觉，中间多了一层吸收，透射应该更少；实际却能看到视场重新变亮。

把三片从左到右记为 P1、P2、P3。P1 与 P3 正交，P2 在中间，与 P1 成 $\alpha$ 角。把三次投影依次写出来就清楚了。自然光经过 P1，光强变成 $I_0/2$，偏振方向沿 P1 的透振轴。P2 与 P1 成 $\alpha$ 角，透射光强变成

$$I_2=\frac{I_0}{2}\cos^2\alpha.$$

出射光的偏振方向沿 P2 的透振轴。P3 与 P1 正交，所以它与 P2 的夹角是 $90^\circ-\alpha$，再投影一次：

$$I_3=I_2\cos^2(90^\circ-\alpha)=\frac{I_0}{2}\cos^2\alpha\sin^2\alpha=\frac{I_0}{8}\sin^2 2\alpha.$$

当 $\alpha=45^\circ$ 时，$\sin^2 90^\circ=1$，$I_3=I_0/8$。与两片正交时的 0 相比，确实变亮了；与两片平行时的 $I_0/2$ 相比，仍然小得多。中间片的作用不是”增加光能”，而是把 P1 选出的光投影到自己的透振轴上，出射光变成沿 P2 透振轴的线偏振；P3 于是有分量可取。每经过一片，被拒绝的分量都被吸收或反射，透射通道的总能量单调下降，$I_0/8<I_0/2$，没有违反能量守恒。

图 3：三片偏振片的投影过程。自然光经 P1 后变成竖直线偏振，光强减半；P2 与 P1 成 45°，只取振幅的 $1/\sqrt{2}$，光强再减半；P3 与 P1 正交，但相对 P2 仍成 45°，再取一次分量，最终剩 $I_0/8$。双箭头表示各段光的偏振方向。

$\alpha=0^\circ$ 或 $90^\circ$ 时，$\sin^2 2\alpha=0$，透射仍为零；中间片转到 $45^\circ$ 时取最大值 $1/8$。代入 $\alpha=30^\circ$，$I_3/I_0=(1/8)\sin^2 60^\circ=3/32$，若入射自然光为 10 mW，则透射 $0.9375$ mW。用逐次投影算：$10\times(1/2)\times\cos^2 30^\circ\times\cos^2 60^\circ=0.9375$ mW，两条路径一致。

图 4：按精确公式计算的两条曲线。(a) 理想偏振片的归一化透射光强 $I/I_0=\cos^2\theta$，$45^\circ$ 为 0.50，$90^\circ$ 为 0，$0^\circ/180^\circ/360^\circ$ 为 1，周期 $180^\circ$；(b) 首末两片正交、中间片与第一片成 $\alpha$ 时，$I/I_0=(1/8)\sin^2 2\alpha$，$45^\circ$ 取最大值 $1/8$，$0^\circ$ 和 $90^\circ$ 为 0。

周期是 180°，不是 360°

图 4(a) 的曲线在 $0^\circ$ 到 $360^\circ$ 之间有两个完整的峰，分别位于 $0^\circ$ 和 $180^\circ$，两个零点位于 $90^\circ$ 和 $270^\circ$。一个完整周期是 $180^\circ$，不是 $360^\circ$。原因写在余弦平方里：

$$\cos^2(\theta+180^\circ)=[-\cos\theta]^2=\cos^2\theta.$$

偏振片的透振轴是一条线，不是一支箭。把偏振片转 $180^\circ$，透振轴与原来重合，电场投影的绝对值不变，光强自然也不变。转 $360^\circ$ 当然也回到原状态，但那已经是两个周期。若只盯着”转一圈”的直觉，容易把 $180^\circ$ 处的第二个峰误认成新的状态。

如果让检偏器以恒定角速度 $\Omega$ 旋转，$\theta=\Omega t$，透射光强随时间的变化是

$$I(t)=I_0\cos^2(\Omega t),$$

时间周期为 $T=\pi/\Omega$。检偏器机械转一圈的时间是 $2\pi/\Omega$，其中包含两个明暗循环。这里的”周期性变化”指的是改变角度时的光强变化；固定两片偏振片不动，探测器读到的光强是恒定的，不会自己闪。把角度扫描和时间演化分开，才不会把马吕斯定律误读成某种时域调制。

真实偏振片：消光比与偏置

理想模型假设正交位置完全消光。真实偏振片做不到：它输出的不是纯线偏振，而是带有少量正交分量的部分偏振光。把检偏器转到与入射偏振方向平行时读到 $I_{\max}$，转到正交时读到 $I_{\min}$，$I_{\min}$ 通常不是零。对固定入射光，整条曲线可以写成

$$I(\theta)=I_{\min}+(I_{\max}-I_{\min})\cos^2\theta,$$

或者归一化为

$$\frac{I(\theta)}{I_{\max}}=\frac{I_{\min}}{I_{\max}}+\left(1-\frac{I_{\min}}{I_{\max}}\right)\cos^2\theta.$$

两个端点自动满足：$\theta=0^\circ$ 时 $I=I_{\max}$，$\theta=90^\circ$ 时 $I=I_{\min}$。理想偏振片对应 $I_{\min}=0$，式子退化成 $I_{\max}\cos^2\theta$。消光比（extinction ratio）定义为 $I_{\max}/I_{\min}$，它描述器件把不需要的偏振压到多低。消光比越大，正交位置越接近全黑。

表 1：理想偏振片与消光比 500:1 的真实偏振片在几个角度下的归一化透射光强。数值按 $I/I_{\max}=\cos^2\theta$ 和 $I/I_{\max}=0.002+0.998\cos^2\theta$ 计算。

$\theta$	理想 $I/I_{\max}$	真实，$I_{\max}/I_{\min}=500:1$
$0^\circ$	1.000	1.000
$45^\circ$	0.500	0.501
$90^\circ$	0.000	0.002
$135^\circ$	0.500	0.501
$180^\circ$	1.000	1.000

表 1 里最值得看的是两个位置。$45^\circ$ 处，理想值 0.500 与真实值 0.501 只差 0.001，肉眼和普通功率计都很难分辨；$90^\circ$ 处，理想值是 0，真实值是 0.002。0.002 只占最大光强的 0.2%，绝对值不大，但它意味着正交位置不再全黑；在需要深消光的场合，这点泄漏会直接限制测量下限。换句话说，消光比差的器件在”半亮”位置看起来很正常，问题只在接近消光的位置暴露。测消光比时只测最大值附近不够，必须把检偏器转到最小值附近，或者对整条曲线做拟合。

拟合可以直接检验指数是不是 2。把 $I/I_{\max}$ 对 $\cos^2\theta$ 作图，理想情况下是一条过原点、斜率为 1 的直线；真实器件的截距是 $I_{\min}/I_{\max}$，斜率是 $1-I_{\min}/I_{\max}$。也可以对 $\log(I/I_{\max})$ 和 $\log(\cos\theta)$ 做线性拟合，斜率就是马吕斯定律里的指数；拟合区间要选在信号明显高于噪声的位置，否则接近消光时的偏置会把斜率拉低。2017 年的一项手机实验用液晶屏作线偏振源、用手机环境光传感器测光强、用姿态传感器测角度，得到的拟合指数是 $1.96\pm0.02$，$R^2=0.99316$。与 2 相差约两个标准差，仍在实验误差量级，论文据此认为与 $\cos^2\theta$ 一致。

器件参数也决定了马吕斯定律能用到什么程度。二向色型偏振片面积大、成本低，消光比大约在 $500:1$ 量级；Glan-Taylor 这类双折射棱镜可以把消光比做到 $10^5:1$ 到 $10^6:1$，但口径小、价格高，视场角也有限。选择器件时，先看任务需要多深的消光，再看孔径和角度范围；只比较”透过率”一个数，会漏掉正交位置的泄漏。实际偏振片对自然光的透射率通常也低于理想的 50%，Polaroid 型约 38%，部分棱镜可高于 49.9%，这部分损耗来自吸收和反射，不改变角度曲线的形状。

把公式放回实验台

马吕斯定律不只是一条用来算光强的公式，它也是偏振测量的基本工具。典型的测量步骤很短：先用已知线偏振源，或者用一片偏振片把自然光变成线偏振；固定这片起偏器，把检偏器装在旋转台上；每转 $5^\circ$ 到 $10^\circ$ 记录一次功率，转够 $180^\circ$ 以上；把数据对最大值归一化，再对 $\cos^2\theta$ 拟合。

读结果时先看三个特征。第一，极大值是否每 $180^\circ$ 出现一次；如果极大值的间隔是 $360^\circ$，说明角度读数或旋转台刻度有问题。第二，极小值是否接近零；如果明显大于零，可能是偏振片消光比有限、入射光本身含有部分偏振，或者两片没有真正正交。第三，拟合的截距和斜率是否满足 $A+B=1$；若不满足，先检查归一化用的最大值是否取错，再检查探测器是否饱和。

对部分偏振的入射光，旋转理想检偏器同样能得到一条 $I_{\max}$ 到 $I_{\min}$ 的曲线，偏振度可以写成

$$P=\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}.$$

完全非偏振光对应 $P=0$，曲线是平的；完全线偏振光对应 $P=1$，曲线在正交位置降到零。这个量把”光有多偏振”压缩成一个数，但它不告诉你偏振方向；方向仍要从极大值对应的角度读。真实检偏器自身有泄漏，测低偏振度的光时，要先标定器件在正交位置的透射，再从测量值中扣除，否则会把器件泄漏误算成样品的偏振。

旋转检偏器测不到什么

把线检偏器转一圈，圆偏振光和自然光给出同一条水平线，$I(\theta)\equiv I_0/2$。两者的完整偏振度相差最大（$1$ 与 $0$），线偏振度（degree of linear polarization，DOLP）却都是零，这条曲线分不开它们。原因是旋转线检偏器只把两个正交分量投影到同一方向后测强度，能读到的是它们同相的那部分关联；圆偏振两个分量的相位差是 $90^\circ$，投影后的交叉项平均为零，不进入这条曲线。要区分两者，需在检偏器前加一片四分之一波片：圆偏振经过波片变成线偏振，再转检偏器就出现完整调制；自然光经过波片仍然没有确定方向，曲线依旧平。单靠一片偏振片和一台功率计，能读出的偏振信息是有限的。

图 5：(a) 线偏振、部分偏振（$P=0.5$）、圆偏振与自然光经旋转检偏器的归一化透射。线偏振在 $45^\circ$ 为 0.50、$90^\circ$ 为 0、$180^\circ$ 回到 1；部分偏振的极大值为 0.75、极小值为 0.25；圆偏振与自然光都是 0.50 的水平线。(b) 两束等幅正交分量在不同相对相位差下的透射：$\delta=0^\circ$ 合成 $45^\circ$ 线偏振，$45^\circ$ 处为 1、$135^\circ$ 处为 0；$\delta=45^\circ$ 为椭圆偏振，调制变浅；$\delta=90^\circ$ 为圆偏振，曲线拉平。

这给前面的”一半”加了一个注脚：透过率是不是 $1/2$，不能单独作为判断依据；还要看转动检偏器时曲线是平的，还是有周期 $180^\circ$ 的调制。只有后者才说明入射光含有确定的线偏振分量。

日常使用中，偏振太阳镜和相机镜头前的偏振镜是马吕斯定律最直接的例子。水面、路面反射的光通常是部分偏振的；转动镜片，使透振轴与反射光的优势偏振方向垂直，能通过的分量被压低，眩光减弱；再转 $90^\circ$，透振轴与优势方向平行，眩光又回来。这里有两个环节：反射过程先让光带上部分偏振，偏振片再按 $\cos^2\theta$ 从中取分量。马吕斯定律负责后一个环节，反射起偏的机制则要用菲涅耳反射解释，两者不能混成一条公式。

一片偏振片做的只是一次投影：把电场乘上一个 $\cos\theta$，把光强乘上一个 $\cos^2\theta$。两片串起来就乘两次，三片就乘三次。遇到”正交全黑””中间加一片变亮””转一圈有几个明暗循环”这类问题时，先问三个量：入射光是什么偏振态，两片透振轴夹角是多少，器件在正交位置漏多少光。把这三个量代进投影关系，结论通常不用背。

参考资料

1. College Physics 2e, 27.8 Polarization — OpenStax
2. The Polarization of Light and Malus’ Law Using Smartphones — The Physics Teacher 55, 264–266 (2017)；开放版本：arXiv:1607.02659
3. Malus’ Law for a Real Polarizer — Ioan Damian, arXiv:physics/0604073
4. Polarizer — Wikipedia
5. Stokes parameters — Wikipedia
6. Polarization (waves) — Wikipedia
7. Coherence (physics) — Wikipedia