应力双折射与光弹性测量：从条纹级次到应力
一句话结论：光弹性测量直接给出主应力差：条纹级次乘材料条纹值再除以厚度；三者都要标定，单看颜色定不出唯一应力。
彩色条纹不是材料颜色
把一块透明塑料直尺夹在两片正交偏振片之间，视野本来是黑的；弯一下直尺，黑色背景上会浮出红、黄、蓝的条纹，松手后又消失。塑料没有换颜料，变的是它的光学各向异性：受力处的高分子链沿某些方向取向，两个正交偏振分量看到不同的折射率，穿过样品后带上相位差，检偏器就能放一部分光过去。玻璃、环氧、聚碳酸酯也有同类效应，只是微观机制不同。
这种由机械应力引起的双折射叫应力双折射，利用它分析应力的方法叫光弹性测量（photoelasticity）。条纹不是随机的装饰，而是一张等值线图：同一条等色线（isochromatic）上，两个面内主应力之差 $\sigma_1-\sigma_2$ 相同；等倾线（isoclinic）则是主方向相同的点的轨迹。前者给出应力差的大小，后者给出方向。两者叠在一起时图案会变得难读，所以定量光弹性通常先用圆偏振光路把等倾线去掉。
图 1：带孔圆盘的等色条纹。同一条纹对应相同的主应力差；孔的存在改变了应力分布，等色线的分布也随之改变。
从这张图到一条可用的应力读数，中间隔着三步：把相位延迟写成主应力差，把条纹级次读准，再把材料条纹值和厚度标定好。下面按这个顺序展开。
应力光学定律：把相位延迟写成主应力差
设样品厚度为 $h$（mm），两个面内主应力为 $\sigma_1$、$\sigma_2$（约定 $\sigma_1\ge\sigma_2$），材料在波长 $\lambda$（mm）下的相对应力光学系数为 $C$。光穿过样品后，两个主方向的相位延迟是
$$ \delta=\frac{2\pi hC(\sigma_1-\sigma_2)}{\lambda}. $$
这里 $C$ 的量纲是压力的倒数。为了和 $F_\sigma$ 的单位对齐，本文统一用 mm–N 制，$C$ 取 mm²/N；它的 SI 单位是 Pa⁻¹，$1\ \text{mm}^2/\text{N}=10^{-6}\ \text{Pa}^{-1}$。$C$ 把“单位应力能产生多大折射率差”量化下来。
定义条纹级次 $N=\delta/(2\pi)$，上式变成
$$ N=\frac{hC(\sigma_1-\sigma_2)}{\lambda}. $$
再把材料参数合并成材料应力条纹值
$$ F_\sigma=\frac{\lambda}{C}, $$
就得到光弹性测量最常用的一条关系：
$$ \sigma_1-\sigma_2=\frac{N F_\sigma}{h}. $$
$F_\sigma$ 的单位是 N/mm/级。它把“读到的条纹级次”换算成“每毫米厚度承担多少应力差”。$F_\sigma$ 越小，同样应力差产生的条纹越多，材料越敏感。环氧树脂的 $F_\sigma$ 约为 12 N/mm/级，聚碳酸酯约为 8 N/mm/级；这两个值只用于后面的数值示例，实际板材会随配方、批次、波长和温度变化。
这条定律成立需要几个条件：材料在线性光弹性范围内，$C$ 在该波长和应力范围内近似常数，样品处于平面应力状态，厚度 $h$ 均匀且已知。应力很高时，$C$ 不再恒定，$\sigma_1-\sigma_2$ 与 $N$ 的关系会偏离直线，这时不能把测到的 $N$ 直接代入上式。
还要注意，$\sigma_1-\sigma_2$ 是两个主应力之差，不是单个应力。知道差值和方向，只能确定莫尔圆的一个直径；要得到 $\sigma_1$、$\sigma_2$ 各自的值，还需要额外条件。这一点在“反演条件”一节展开。
圆偏振光路：把等倾线去掉，只留下等色线
平面偏振光弹性仪最简单：光源、起偏器、样品、检偏器。设起偏器与样品主方向的夹角为 $\theta$，检偏器与起偏器正交，透射强度可以写成
$$ I_p=I_a\sin^2(2\theta)\sin^2\frac{\delta}{2}. $$
这个式子有两个零点来源：$\theta=0$ 时，不管相位延迟多大都消光，形成等倾线；$\delta=0$ 时形成等色线。两者混在一起，肉眼很难判断一条黑纹到底代表主方向还是零应力差。
圆偏振光弹性仪在样品前后各加一块四分之一波片：第一块把线偏振变成圆偏振，第二块把样品输出的椭圆偏振重新变成线偏振，再由检偏器读出。标准暗场配置下，透射强度只剩
$$ I_d=I_a\sin^2\frac{\delta}{2}, $$
亮场则是
$$ I_l=I_a\cos^2\frac{\delta}{2}. $$
式子里没有 $\theta$，等倾线被去掉，剩下的暗纹只由相位延迟决定。暗场下 $N=0,1,2,\ldots$ 对应黑纹，亮场下 $N=0.5,1.5,2.5,\ldots$ 对应黑纹。
图 2：透射式圆偏振光弹性仪的基本光路。起偏器之后加一块四分之一波片，样品之后再放一块四分之一波片和检偏器；圆偏振光下透射强度只随相位延迟变化。
条纹编号不能只看“第几条”。通常先找一个已知无应力区或各向同性点作为零级，再沿条纹梯度方向逐条计数；条纹密集处还要判断级次是增加还是减少。小数级次用补偿器读：Tardy 法把检偏器转到该点消光，转角 $\beta$ 对应小数级次 $\delta N=\beta/180^\circ$，正负号按较低级次条纹是否移向该点判断。这样，一个点的总级次就是整数部分加小数部分。
圆偏振光路去掉了等倾线，也同时丢掉了主方向信息。需要方向时，仍要回到平面偏振光路：同步旋转起偏器和检偏器，找到该点消光的角度，得到等倾角。定量光弹性常见的做法是两套光路都拍：圆偏振图读级次，平面偏振图读方向。
标定：材料条纹值要在实验现场测
$F_\sigma$ 不是普适常数。同一牌号的板材，不同批次、存放时间、波长和温度都会让 $F_\sigma$ 变化；手册值只能用来估计条纹级次范围，不能直接拿来算应力。标定的任务，是用一个理论应力已知的试样，测出对应的条纹级次，反求 $F_\sigma$。
常用试样是直径压缩圆盘。设圆盘直径 $D$、厚度 $h$、载荷 $P$，圆盘中心的理论主应力差是
$$ \sigma_1-\sigma_2=\frac{8P}{\pi Dh}. $$
把中心的条纹级次 $N$ 代入 $\sigma_1-\sigma_2=NF_\sigma/h$，厚度 $h$ 约掉，得到
$$ F_\sigma=\frac{8P}{\pi DN}. $$
这个式子的好处是只用到 $P$、$D$、$N$，不需要单独测中心应力。圆盘紧凑、加载容易对准、中心条纹容易找，所以成为常规标定试样。实际操作时不会只测一个载荷：在几个载荷下读中心级次，作 $P$–$N$ 直线，用斜率 $m=P/N$ 求 $F_\sigma=8m/(\pi D)$，比单点计算更稳。
表 1：环氧圆盘标定示例（$D=60$ mm，$h=6$ mm，$F_\sigma=12$ N/mm/级）
| 载荷 $P$（N） | 中心级次 $N$（按公式计算） | $P/N$（N/级） |
|---|---|---|
| 200 | 0.707 | 282.8 |
| 300 | 1.061 | 282.8 |
| 400 | 1.415 | 282.8 |
| 500 | 1.768 | 282.8 |
| 600 | 2.122 | 282.8 |
表里的 $N$ 是按 $N=8P/(\pi D F_\sigma)$ 算出的期望值，不是实验测量值；它用来说明标定直线的斜率。若换聚碳酸酯（$F_\sigma=8$ N/mm/级），同样 $D$、$h$、$P$ 下 $N$ 会变成 1.5 倍，直线更陡。
图 3：同一圆盘（$D=60$ mm，$h=6$ mm）换材料后的 $N$–$P$ 关系。环氧（$F_\sigma=12$ N/mm/级）在 $P=400$ N 时 $N=1.415$，聚碳酸酯（$F_\sigma=8$ N/mm/级）为 $N=2.122$；斜率不同，反映材料条纹值不同。
标定时还有几个容易漏掉的量。厚度 $h$ 要用千分尺在读数点附近测，不能用名义厚度；软材料加载后会变薄，严格的做法是在加载状态下测厚度，或至少在相同夹持条件下复测。光源要是单色光，否则白光条纹的颜色随级次变化，读数会掺入颜色判断。样品在零载荷下可能已有残余双折射，表现为零级不在真正的零应力点；这时要把零载条纹作为偏置，或在拟合中加一个常数项。
标定得到的是“材料 + 波长 + 温度 + 厚度”这一组条件下的 $F_\sigma$。换了任何一项，都要重新确认。实际报告里应写明标定日期、光源波长、标定试样尺寸和拟合点数，否则别人无法判断这个 $F_\sigma$ 是否适用于当前测量。
反演条件：哪些应力能算，哪些不能
光弹性测量给出的是 $\sigma_1-\sigma_2$ 和主方向，不是 $\sigma_1$、$\sigma_2$ 本身。这个区别决定了反演能做到哪一步。
如果测点在无面力的自由边界上，边界法向的正应力和剪应力都为零，所以一个主应力为零，另一个就是切向应力。此时主应力差直接等于切向应力，反演不需要额外的应力分离：
$$ \sigma_t=\frac{N F_\sigma}{h}. $$
拉伸试条是一个干净的例子。取宽 $w=20$ mm、厚 $h=6$ mm、环氧 $F_\sigma=12$ N/mm/级，载荷 $P=720$ N。均匀拉伸的轴向应力是
$$ \sigma=\frac{P}{wh}=\frac{720}{20\times6}=6.00\ \text{MPa}. $$
对应的条纹级次
$$ N=\frac{\sigma h}{F_\sigma}=\frac{6.00\times6}{12}=3.00. $$
反过来，从测到的 $N=3.00$ 得到 $\sigma=NF_\sigma/h=6.00$ MPa，和直接计算一致。试条的两个长边是自由边界，边上的切向应力就是轴向应力；但试条内部任意一点，如果两个主应力都不为零，仅有 $N$ 还不能分出各自的值。
内部点的应力分离通常有三条路：沿剪应力积分（剪差法），把平衡方程从已知边界推进到内部；借助有限元或其他数值解，把光弹性数据作为约束或验证；再用另一种实验方法独立测一个分量。三条路都需要额外假设或额外数据，不能靠一张等色图完成。
三维问题更复杂。透射光弹性沿厚度积分，得到的是沿光路的积分延迟；要得到三维应力场，常用应力冻结：把模型加热到冻结温度、加载、缓慢冷却，让应力场“固定”在高分子网络里，再切片逐层观察。三维（3D）打印的透明光敏聚合物也被用于这类模型，材料在约 60 °C 出现应力冻结；但打印材料的力学和光弹性性能与原型材料有差异，需要标定和相似律换算。
把模型结果用到金属原型时，还要满足几何相似、载荷相似和应变水平相近。若忽略泊松比差异，载荷缩放近似为 $P_m/P_p=(L_m/L_p)^2(E_m/E_p)$（下标 m 为模型，p 为原型）。泊松比不匹配会影响三维冻结模型的主应力，尤其是最大主应力；二维平面应力问题也不能跳过相似条件。这个换算不属于光弹性公式本身，却是“模型上测到的应力”能不能回答“原型应力”的前提。
误差从哪里来：把不确定度算出来
把 $\sigma_1-\sigma_2=NF_\sigma/h$ 取对数再微分，得到相对不确定度的传播式：
$$ \frac{u_\sigma}{\sigma} =\sqrt{\left(\frac{u_N}{N}\right)^2 +\left(\frac{u_F}{F_\sigma}\right)^2 +\left(\frac{u_h}{h}\right)^2}. $$
这里假设三个不确定度相互独立、不相关。式子的结构说明：低条纹级次时，$u_N/N$ 被放大；材料条纹值和厚度的相对误差则与级次无关，是乘性偏置。
表 2：拉伸试条示例的误差预算（$N=3.00$，$u_N=0.05$ 级，$u_F/F_\sigma=3\%$，$u_h/h=0.33\%$）
| 来源 | 相对不确定度 | 占总方差比例 |
|---|---|---|
| 条纹级次 $u_N/N$ | 1.67% | 23% |
| 材料条纹值 $u_F/F_\sigma$ | 3.00% | 76% |
| 厚度 $u_h/h$ | 0.33% | 1% |
| 合成 | 3.45% | 100% |
在 $N=3.00$、$\sigma=6.00$ MPa 时，$u_\sigma=0.207$ MPa。若同一个读数误差发生在 $N=1.415$，仅 $u_N/N$ 就有 3.53%，合成 4.65%；若发生在 $N=0.5$，$u_N/N$ 升到 10%，合成 10.4%。这就是为什么标定和测量都希望条纹级次不要太低：不是公式更准，而是读数误差被分母放大了。
图 4：固定 $u_F/F_\sigma=3\%$、$u_h/h=0.33\%$ 时，主应力差相对不确定度随条纹级次的变化。$N=1.415$ 时约 4.6%，$N=3.0$ 时约 3.4%；级次越低，读数误差的权重越大。
除了这三项，还有几类误差不会直接写进上式：
- 零级判断错：把残余双折射或某个等倾线误当成零级，整条条纹的整数部分就错了，误差是跳跃式的，不是小数点后的偏差。
- 材料非线性：高应力下 $C$ 不再是常数，$N$ 与 $\sigma_1-\sigma_2$ 偏离线性；继续用常数 $F_\sigma$ 会系统性高估或低估。
- 波长与温度：$F_\sigma=\lambda/C$ 随波长变化，$C$ 也随温度变化；用错光源或忽略温升，会得到一个“看起来合理”的偏置。
- 厚度不均与变形：注塑件、吹塑件和 3D 打印件的厚度沿视场变化；用名义厚度会把厚度误差混进应力。
- 应力分离的误差：内部点的剪差积分会把边界误差沿路径累积；数值解和实验数据的匹配程度也会引入偏差。
最后是颜色问题。白光下，颜色对应的是光程差 $R=\Delta n\,h$，而 $\Delta n=C(\sigma_1-\sigma_2)$。同一颜色可以由不同的 $C$、$h$ 和 $\sigma_1-\sigma_2$ 组合得到；超过约 3 级后，白光条纹的颜色相互混叠，饱和度下降，肉眼很难分辨级次。所以“看颜色读应力”只能做粗略排序，不能给出唯一应力值。要做定量，至少要有单色光、已知 $F_\sigma$、实测厚度和可追溯的级次读数。
把测量链路走一遍
把前面的步骤串起来，一次完整的光弹性测量可以写成下面这张检查表。
表 3：从条纹到应力的测量链路
| 步骤 | 要做的事 | 输出 | 关键检查 |
|---|---|---|---|
| 1. 明确对象 | 确定测点是自由边界还是内部点，是二维还是三维 | 反演路线 | 自由边界才能直接用 $\sigma_t=NF_\sigma/h$ |
| 2. 量厚度 | 在读数点附近测 $h$，记录加载前后的变化 | 局部厚度 | 不用名义厚度；软材料注意泊松收缩 |
| 3. 标定 | 用圆盘直径压缩，多载荷读中心级次，拟合 $P$–$N$ | $F_\sigma$ | 同批次、同波长、同温度；记录拟合点数 |
| 4. 读级次 | 圆偏振暗场/亮场计数，Tardy 读小数级次 | $N$ | 先定零级；条纹密集处判断增减方向 |
| 5. 读方向 | 平面偏振光路同步旋转，找消光角 | $\theta$ | 等倾线与等色线分开 |
| 6. 反演 | 自由边界用单轴关系；内部点做应力分离 | $\sigma_1-\sigma_2$ 或 $\sigma_t$ | 写明假设和额外数据 |
| 7. 报误差 | 按传播式合成 $u_N$、$u_F$、$u_h$ | 应力及不确定度 | 低 $N$ 时尤其要报相对误差 |
这张表里最容易被跳过的是第 1 步和第 7 步：拿到条纹图就直接套 $\sigma=NF_\sigma/h$，没有先问“这个点是不是自由边界”“这个 $N$ 的不确定度是多少”。前者决定公式能不能用，后者决定结果值不值得信。
回到开头那块塑料直尺：彩色条纹确实把应力“画”了出来，但它画的是一张主应力差的等值线图，不是一张现成的应力读数表。要把颜色变成数字，需要标定材料、量准厚度、读对级次，还要说明反演的是差值还是单个应力。这四件事都做到，光弹性测量才从演示变成测量。
参考资料
- Developments in Photoelasticity: A renaissance — K. Ramesh, IOP Publishing, 2021
- Photoelasticity — Wikipedia
- ASTM D4093-23 标准题录 — DIN Media
- The mechanical and photoelastic properties of 3D printable stress-visualized materials — Scientific Reports 7, 10918 (2017)
- File:Isochromatic.jpg — Midnight bird, Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0
- File:Transmission Circular Polariscope.svg — Laor, Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0