等倾干涉原理：均匀薄膜的同心圆环与膜厚测量

一句话结论：厚度均匀的薄膜仍会出现同心干涉环，因为光程差 $2n_2d\cos\theta_2$ 只由倾角决定；环半径的平方与环序号成正比，斜率里含 $f^2\lambda n_2/d$，可以用来反推平板厚度。

从肥皂膜的颜色说起

肥皂泡和雨天路面的油膜泛着彩色，这是薄膜干涉最常见的面孔。光在膜的上表面反射一部分，另一部分穿进膜内、在下表面反射后再出来，两束反射光叠加，某些波长被加强、另一些被削弱，于是显出颜色。这类彩色条纹大多来自厚度变化：膜被拉薄、被推开的地方厚度不同，不同厚度对应不同的加强波长，所以颜色沿着膜面流动。这样的条纹叫等厚条纹，牛顿环和两块玻璃间楔形空气膜产生的条纹都属于这一类。

肥皂泡表面的彩色薄膜干涉

图 1：肥皂泡在灯光反射下呈现的彩色图样，不同颜色来自膜厚变化导致的不同波长加强。

但换一个做法，结果会出乎意料。取一块厚度处处相同的平行平板，用一盏面光源（或者把激光扩束后打在毛玻璃上）照射它，再把眼睛或相机对焦到无穷远，你会看到一组以法线方向为中心的同心圆环。厚度没有变，颜色却随角度排成了环，这类条纹叫等倾条纹（fringes of equal inclination，历史上也称海丁格条纹）。它要回答的问题正是：厚度到处一样，光程差为什么还会随观察方向改变？

光程差从哪里来

先跟着一束光走一遍。设薄膜厚度为 $d$、折射率为 $n_2$，两侧都是空气（$n_1=n_3=1$）。入射光以 $\theta_1$ 从空气射到膜面，一部分在上表面直接反射（记为光 1），一部分折射进膜内、以 $\theta_2$ 传播到下表面，反射后回到上表面再折射出去（记为光 2）。两束光最终平行地离开膜面，在上方相遇。

光 2 比光 1 多走的是膜内的一去一回。由折射定律 $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$，加上两束光出射时波前要取同一等相位面的几何修正，两束光的光程差可以整理成

$$OPD = 2 n_2 d\cos\theta_2 .$$

这个式子有一个容易看漏的地方：光程差不是 $2n_2d$，而是 $2n_2d\cos\theta_2$。$\cos\theta_2$ 这一项说明，光程差不仅由厚度决定，还由光在膜内的倾角决定，这正是等倾条纹的起点。

薄膜上下表面反射的光路与光程差

图 2：入射光在薄膜上表面反射一束，另一束折射进膜内、在下表面反射后出射；两束光之间的光程差为 $2n_2d\cos\theta_2$。

还剩一个相位来源。光从折射率较小的介质射向较大的介质并在界面反射时，反射光的相位会跃变 $\pi$，相当于多走半个波长，这叫半波损失。对一层夹在空气中的膜，上界面是空气射向膜（$1<n_2$），有 $\pi$ 跃变；下界面是膜射向空气（$n_2>1$），没有跃变。两束光之间净多出半个波长，于是明暗条件是

$$2n_2d\cos\theta_2=\left(m-\frac{1}{2}\right)\lambda \quad(\text{反射光相长}),\qquad 2n_2d\cos\theta_2=m\lambda \quad(\text{反射光相消}).$$

这里 $m$ 取整数。两式只差半个波长的约定，后面统一按“计入半波损失”的这一组使用。

为什么厚度均匀还会有条纹

厚度 $d$ 不变，但 $\theta_2$ 随入射方向连续变化：正入射时 $\theta_2=0$，$\cos\theta_2=1$，光程差取最大；越斜着入射，$\theta_2$ 越大，$\cos\theta_2$ 越小，光程差越小。面光源的好处是它同时提供所有方向的光，每个方向各自满足或接近自己的明暗条件。同一个倾角对应同一个光程差、同一条纹，所以条纹是“等倾线”而不是“等厚线”，这正是等倾干涉这一名字的来由。

由此可以读出圆环的顺序。在中心（$\theta_2=0$）光程差最大，等于 $2n_2d$，对应的干涉级次最高：

$$m_0=\frac{2n_2d}{\lambda}.$$

离开中心，光程差减小，级次随之降低。相邻两条亮环之间光程差正好相差一个波长，所以从中心向外数，环的级次一级一级往下掉。中心本身是亮是暗，取决于 $m_0$ 的小数部分：$2n_2d/\lambda$ 接近半整数时中心亮，接近整数时中心暗。这也是同一块平板换用不同波长时中心明暗会变的原因。

为什么定域在无穷远

等倾条纹有一个必须配合的观察条件：两束反射光离开膜面后是平行的，平行光只在无穷远处相交，所以条纹定域在无穷远。人眼自然放松（相当于对焦到无穷远），或者用一只会聚透镜，让不同倾角的平行光分别会聚到焦面上的不同点，才能在焦面上看到清晰的圆环。若把相机直接对焦在膜面上，看到的是一片大致均匀的视场，圆环反而模糊。

这一点正是等倾与等厚的分界。等厚条纹的两束光在膜面附近就已相交，定域在膜面（或非常靠近膜面的地方），所以牛顿环要对准玻璃接触处观察；等倾条纹定域在无穷远，必须让眼睛看远处或加透镜。同一套装置里，这两个定域位置不会同时落在清晰的焦面上。

平行平板等倾干涉的光路

图 3：平行平板上下表面反射的两束光以同一倾角平行出射，被透镜会聚到焦面上的同一点；不同倾角对应焦面上不同半径，形成同心圆环。

圆环的规律与数值代入

把 $\cos\theta_2$ 在小角度下展开。利用 $\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$，当入射角不大时可以取 $\theta_2\approx\theta_1/n_2$，于是

$$\cos\theta_2\approx 1-\frac{\theta_2^2}{2}=1-\frac{\theta_1^2}{2n_2^2},$$

代回光程差，相对中心级次差为 $p$ 的亮环满足

$$\theta_p^2 \approx p\cdot\frac{\lambda n_2}{d}.$$

$p$ 是从中心算起的级次差，一般不是整数（因为中心级次 $m_0$ 通常带小数）。好在这不妨碍测量：任意两条亮环相减，把中心零点消掉，

$$\theta_q^2-\theta_p^2=(q-p)\frac{\lambda n_2}{d}.$$

在焦距为 $f$ 的透镜焦面上，环半径 $r_p\approx f\theta_p$，于是 $r_p^2$ 与环序号的差也成同样的比例。

代入一组具体数字核对。取 $n_2=1.50$、$d=1.00\ \mathrm{mm}$、$\lambda=589\ \mathrm{nm}$（钠黄光）、$f=100\ \mathrm{mm}$：中心级次 $m_0=2n_2d/\lambda=5093.38$；相邻亮环的角半径平方差为 $\lambda n_2/d=8.835\times10^{-4}\ \mathrm{rad^2}$，换到焦面上，相邻亮环的 $r^2$ 之差约为 $f^2\lambda n_2/d=8.8\ \mathrm{mm^2}$，与中心级次是否恰好落在亮环上无关。用完整的菲涅耳反射公式逐角计算反射率作独立核对，第一个极大出现在 $1.5965^\circ$；本例中心级次的小数部分是 0.879，按近似式 $\theta=\sqrt{0.879\lambda n_2/d}$ 得到 $1.5967^\circ$，两者一致，说明在这个厚度和角度范围里小角近似可靠。$\pm5^\circ$ 视场内大约能排下八九条环。

环的疏密也从这条式子读出来。$d$ 越大，同一角度范围内能容纳的级次差越多，环越密；$d$ 很小时，相邻环之间要张开十几度，普通视场里基本只剩中心附近。一层 10 μm 的膜就属于后一种情形，所以几微米厚的膜通常展示的是等厚彩色条纹，而不是等倾环。

法布里–珀罗标准具的同心环状条纹

图 4：冷却氘灯光源下法布里–珀罗标准具的同心环，不同环对应不同倾角，环上的细小结构来自光源的精细光谱。

等倾与等厚：一张表分清

表 1：等倾干涉与等厚干涉的对照。

比较项 等倾干涉 等厚干涉
光程差主要由什么决定 倾角 $\theta_2$，厚度均匀 膜厚 $d$，通常近正入射
对薄膜的要求 厚度均匀的平行平板 厚度缓慢变化的楔形或弯曲膜
条纹形状 以法线为中心的同心圆环 沿等厚线的条纹，如牛顿环、直条纹
定域位置 无穷远或透镜焦面 膜面附近
观察方式 扩展光源，眼睛放松或加会聚透镜 眼睛对准膜面，常用近正入射单色光
典型例子 平行平板圆环、法布里–珀罗标准具环 牛顿环、空气楔、肥皂膜彩色带

两类条纹并不是互斥的。真实平板总有微小的厚度起伏，也总会同时存在倾角变化，最终看到哪一种，取决于哪个量的变化在光程差里占主导；平板越接近理想平行、光源越发散，等倾环就越干净。

把它当尺子用：膜厚、折射率与平行度

等倾环的规律可以反过来当测量工具。已知折射率 $n_2$ 和波长 $\lambda$，在焦面上量出第 $p$ 环与第 $q$ 环的半径，斜率

$$k=\frac{r_q^2-r_p^2}{q-p}=\frac{f^2\lambda n_2}{d}$$

就把厚度 $d$ 定了下来。仍用前面的数字：$k=8.8\ \mathrm{mm^2}$ 对应 $d=1.00\ \mathrm{mm}$；如果实测斜率是 $7.4\ \mathrm{mm^2}$，同一套参数下 $d$ 约为 1.19 mm。反过来，若厚度已知，同样的关系可以用来测折射率，等倾环直接给出的是乘积 $n_2d$ 的信息，要拆开两者，需要另一个已知条件。

它适合毫米到厘米量级的平行平板、标准具间隔和晶体片，而不是几微米厚的薄膜：后者环太稀疏，厚度测量通常改用等厚条纹、光谱反射或椭偏法。斐索干涉仪把一块参考面正对被测面，用准直单色光照明，两面的反射光形成条纹，可以直接看出被测面的面形偏差；参考元件带一点楔角，是为了把后表面的杂散反射引开。反射率更高的法布里–珀罗标准具则把同一原理做成窄而锐的环，用精细度衡量它的选频能力，是光谱分析和激光选频的常用器件。

使用时有几处需要留意。$\theta_p^2\approx p\lambda n_2/d$ 是小角近似，角度大时要回到完整的 $2n_2d\cos\theta_2$；材料的折射率随波长变化，换光源要同步换 $n_2$；环的序号要靠中心级次判断，而中心级次通常带小数，所以实际测量更稳妥的做法是比较两条相隔已知环数的环，而不是从中心硬数。温度和应力会同时改变厚度与折射率，长时间测量的漂移也来自这里。

常见误解

误以为厚度均匀的薄膜不会产生干涉条纹。 实际上等倾条纹恰恰要求厚度均匀：光程差 $2n_2d\cos\theta_2$ 由倾角决定，面光源里每个倾角各贡献一条条纹，厚度不均匀反而会把圆环搅乱。

误以为等倾环和牛顿环可以在同一个对焦位置同时看清。 它们的定域位置不同。牛顿环定域在玻璃接触处附近，要对准膜面看；等倾环定域在无穷远，眼睛要放松或加会聚透镜，把相机对在膜面上只会得到模糊的环。

误以为环半径与环序号成正比。 成正比的是半径的平方：$\theta_p^2\propto p$，所以半径按 $\sqrt{p}$ 增长，环在中心附近稀疏、越往外越密，这与牛顿环“内疏外密”的观感相似，但成因是倾角而非厚度。

误以为圆环的中心一定是亮点。 中心是亮是暗取决于 $2n_2d/\lambda$ 的小数部分，接近半整数时中心亮，接近整数时中心暗；换一个波长或换一块稍厚的板，中心就可能反转。

参考资料

阅读 1 次
光学与光子学
#光学 #干涉 #物理光学 #薄膜干涉 #等倾干涉 #光学测量
等倾干涉原理：均匀薄膜的同心圆环与膜厚测量
https://time-frame.cloud/2026/10/16/2026-10-16-equal-inclination-interference-principle/
作者
Time Frame
发布于
2026年10月16日
许可协议