牛顿环原理：等厚干涉、环半径公式与透镜检验

引言：把凸面按在玻璃板上，为什么会出现圆环？

把一块平凸透镜的凸面轻轻压在平板玻璃上，从上方俯视，会看到以接触点为中心的一圈圈同心圆环；用白光照明时环带是彩色的，改用单色光（例如钠光灯的黄光）时则变成清晰的明暗相间圆环。图 1 就是这样的条纹照片。

图 1：两片平凸透镜以平面相叠时产生的牛顿环条纹——两表面之间微小间隙使反射光相互干涉，形成以接触点为中心的明暗圆环，越靠外环越密。

这些圆环被称为牛顿环（Newton’s rings）。两个玻璃表面之间并没有夹任何东西，只是一层厚度从接触点向外逐渐增大的空气膜，怎么会干涉出如此规则的圆环？环的半径由什么决定？它又能用来做什么？本文依次回答这三个问题：先建立等厚干涉的判据，再分析空气隙的几何形状，最后给出环半径公式和它在光学加工检验中的应用。

楔形空气膜：等厚干涉的判据

牛顿环属于等厚干涉（equal-thickness interference）：薄膜上下两表面反射的光，其光程差只由膜厚决定，凡是膜厚相同的地方就落在同一条干涉条纹上。先看一个更简单的等厚干涉装置——两片玻璃片一端接触、另一端微微张开，中间形成一个楔形空气膜，如图 2(a) 所示。

图 2：两片玻璃片之间的楔形空气膜：(a) 白光下看到重复的彩虹色带；(b) 楔形膜内光线路径示意；(c) 改用单色光照明时得到明暗相间的条纹。

垂直入射近似下，光在空气膜上下两表面反射的两束光之间，几何光程差为膜厚的两倍，即 $2t$。麻烦在于反射时可能发生相位跃变：如图 3 所示，光从低折射率介质进入高折射率介质并在界面反射时，相位改变 $\pi$，等效于额外 $\lambda/2$ 的光程差（习惯上叫“半波损失”）。

图 3：光从折射率较低的介质 $n_1$ 射向折射率较高的介质 $n_2$（$n_1<n_2$）并在界面反射时，相位改变 $\pi$。

对玻璃片与空气的交界来说，光从玻璃进入空气再反射（高折射率到低折射率）不产生相位跃变，从空气进入玻璃再反射（低到高）则跃变 $\pi$——两束反射光因此天然相差 $\pi$。于是反射光的相消（暗纹）条件为

$$2t=m\lambda,\qquad m=0,1,2,\dots$$

相长（亮纹）条件为

$$2t=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda,\qquad m=0,1,2,\dots$$

当两片玻璃在端点处真正接触（$t=0$）时，$m=0$ 满足暗纹条件，所以图 2(c) 中接触端是暗带。楔形膜厚度均匀增加，暗纹、亮纹就等间距交替排列；白光包含所有波长，各波长的亮纹位置不同，叠加起来就是重复出现的彩虹色带。

空气隙的几何：等厚线为什么是圆

现在把楔形膜换成牛顿环的装置：平凸透镜的凸面曲率半径为 $R$，放在同样平整的玻璃板上。在距接触点水平距离为 $r$ 处，空气膜的厚度为 $t$。在过接触点的截面上，凸面圆弧的弦高就是膜厚 $t$，直角三角形满足勾股定理：

$$R^2=(R-t)^2+r^2$$

展开得 $2Rt=t^2+r^2$。实验中空气隙厚度 $t$ 只有几微米甚至更小，而环半径 $r$ 是毫米量级，$t^2$ 相比 $r^2$ 可以忽略，于是

$$t\approx\frac{r^2}{2R}$$

也就是说，空气膜厚度与到接触点距离的平方成正比：距接触点越远，膜厚增长越快。反过来看，把膜厚 $t$ 取为某一固定值，对应的 $r$ 就是一个确定的圆——膜厚相同的点恰好构成同心圆，这就是牛顿环的条纹天然是圆环的原因。不妨代入数值感受一下：$R=1.0\ \mathrm{m}$ 的凸面，在 $r=1.0\ \mathrm{mm}$ 处膜厚只有 $t=r^2/(2R)=0.5\ \mu\mathrm{m}$，还不到一微米。

环半径公式：r=√(mλR)

把等厚干涉的暗纹条件 $2t=m\lambda$ 代入 $t\approx r^2/(2R)$，得到第 $m$ 个暗环的半径

$$r_m=\sqrt{m\lambda R},\qquad m=0,1,2,\dots$$

$m=0$ 时 $r=0$，正是接触点——因为这里发生相位跃变，中心是暗斑。亮环对应 $2t=(m+\frac{1}{2})\lambda$，半径 $r_m=\sqrt{(m+\frac{1}{2})\lambda R}$，位置恰好介于相邻暗环之间。

用钠黄光（$\lambda=589\ \mathrm{nm}$）和曲率半径 $R=1.0\ \mathrm{m}$ 的凸面算一笔账：

$$r_5=\sqrt{5\times 589\times 10^{-9}\times 1.0}\approx 1.72\ \mathrm{mm}$$

$$r_6=\sqrt{6\times 589\times 10^{-9}\times 1.0}\approx 1.88\ \mathrm{mm}$$

第 5 个与第 6 个暗环的间距只有约 $0.16\ \mathrm{mm}$，而且越往外环间距越密——因为 $\sqrt{m}$ 的增长越来越慢。图 1 的照片里“内疏外密”的观感，正是这个平方根关系。

公式还揭示了另外两个规律。其一，环半径正比于 $\sqrt{\lambda}$：波长越长的光环越大。白光中红光环半径大于蓝光，各波长环错开叠加，于是看到彩色圆环；单色光下各环半径唯一确定，条纹最清晰。其二，把实验测得的各暗环 $r^2$ 对环序数 $m$ 作图，得到过原点的直线，斜率等于 $\lambda R$——已知波长即可反推出透镜曲率半径 $R$，这是牛顿环最经典的定量用途之一。

光学检验：用半个波长“度量”透镜表面

牛顿环最重要的工程用途，是在光学加工车间里检验透镜面形。磨制透镜时，把被加工的镜片放在一块曲率经过精密校准的标准样板（master）上，两者之间同样只隔一层空气膜：如果表面形状与样板完全一致，各处膜厚相同，看不到圆环；只要存在偏差，就会出现牛顿环，而且相邻环对应的膜厚变化只有半个波长——以可见光约 $550\ \mathrm{nm}$ 计，就是约 $275\ \mathrm{nm}$ 的面形误差。换句话说，牛顿环把亚微米级的厚度差“放大”成了肉眼可数的圆环，让工人在磨制过程中就能把面形精度做到远小于一个波长。这个用途从 17 世纪牛顿详细描述并应用这些圆环时就已确立（最早观察到它们的是胡克，牛顿本人并不相信环与光的波动性有关），沿用至今仍是光学车间里最常用、最直观的检验手段之一。

定量测量也由此而来。测出第 $m$ 个暗环的半径 $r_m$，在 $r^2$–$m$ 坐标下所有暗环落在一条过原点的直线上，斜率等于 $\lambda R$；已知波长 $\lambda$ 就能算出凸面曲率半径 $R$，已知 $R$ 反过来也能标定波长。环的尺寸还被用来表征眼镜镜片等光学表面的曲率，干涉图样的变形则可用于评估像散等面形误差。这些操作都建立在“等厚线是圆”这一几何事实上，因此对装置的清洁度、照明光线的单色性以及入射角都有要求：入射角不能太大，否则光程差不再由 $2t$ 决定；白光下环带重叠、可数的环数少，测量多用单色光并把中心暗斑作为第 0 环起算。

表 1：白光与单色光照明下牛顿环的观察对比

照明方式	观察结果	原因
白光	彩色圆环，可分辨的环数较少	各波长亮环半径不同（正比于 $\sqrt{\lambda}$），错开叠加成彩环
单色光（如钠黄光）	明暗相间、锐利的圆环	单一波长对应唯一一组环半径，条纹最清晰

小结

牛顿环的全部规律可以浓缩成一条因果链：平凸透镜与平板玻璃之间的空气隙，厚度 $t\approx r^2/(2R)$ 只取决于距接触点的距离 $r$——等厚线天然是同心圆；反射光在接触处因相位跃变而相消，暗环满足 $2t=m\lambda$，于是环半径 $r_m=\sqrt{m\lambda R}$，内疏外密、正比于波长的平方根；反过来，测出环半径就能反推曲率半径，数出环数就能判断表面与标准样板的偏差。下次看到镜片压在一起时冒出的彩色圆环，不妨想想：你正在直接观察一层不到一微米厚的空气膜。

参考资料

1. OpenStax, University Physics Volume 3, §3.4 Interference in Thin Films：https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/3-4-interference-in-thin-films
2. Physics LibreTexts, 3.5: Interference in Thin Films（OpenStax 镜像）：https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_(OpenStax)/University_Physics_III_-_Optics_and_Modern_Physics_(OpenStax)/03%3A_Interference/3.05%3A_Interference_in_Thin_Films
3. PhysClips（UNSW Sydney），4.8.9: Newton’s rings（LibreTexts 托管）：https://phys.libretexts.org/Workbench/PhysClips_Light/04%3A_Interference/4.08%3A_Appendix/4.8.09%3A_Newton's_rings
4. C. Illueca 等，The use of Newton’s rings for characterising ophthalmic lenses，Ophthalmic and Physiological Optics 18(4):360–371, 1998（PubMed 摘要）：https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/9829108/