文献解读 | 8 mm 孔径折超混合超透镜：可微分光线追踪怎么分工

一句话结论：8 mm 口径、NA 0.32 的可见光折超混合镜，折射面担约 94% 光焦度、超表面补约 6%，色差比单片非球面透镜低 83%。

论文简介

这次解读的是浙江大学光电科学与工程学院 Qiangbo Zhang、Zeqing Yu、Zhenrong Zheng 等人，联合南京大学固体微结构物理国家重点实验室 Qingbin Fan、Ting Xu 等人的工作 Vectorial Generalized Snell’s Law-Enabled Differentiable Ray Tracing for Large-Aperture Visible Achromatic Hybrid Meta-Optics，发表在 Laser & Photonics Reviews 第 19 卷第 24 期（文章号 e00448），2025 年 7 月 26 日在线发表，原文链接 https://doi.org/10.1002/lpor.202500448。

它的贡献可以压成一句话：把”大孔径可见光消色差”这件事拆给折射面和超表面两方，再用重新推导的矢量广义斯涅尔定律把两方的设计参数塞进同一套可微分光线追迹里联合优化，最终在 420–680 nm 波段、8 mm 口径下做到 NA 0.32，色差比单片非球面折射透镜降低 83%，并给出全彩成像结果。

先交代一处口径：论文摘要没有给出折射面与超表面各自承担的光焦度比例，后文的 94%/6% 是本平台按两片式消色差条件算出的量级估算，用来解释分工的物理必然性；83% 这个降幅则直接取自摘要。

同一课题组 2024 年还有一篇姊妹预印本，口径 1 cm、f/1.4、440–700 nm，走的是同一条可微分光线追迹路线，目前尚未同行评议，所以本篇只把它当作路线演进的参照，不引用它的数字，主读仍是上面这篇期刊论文。

图 1：折超混合系统的分工与色差。(a) 单片非球面折射透镜（N-BK7 模型算例）：折射率随波长下降，蓝端焦距 11.62 mm、红端 11.96 mm，焦面按波长前后分开，跨度约 2.82%。(b) 折超混合：折射面承担约 94% 光焦度，超表面补约 6% 的差额相位，三个波长收敛到同一焦点，模型残余焦移 0.45%。图中为薄透镜加相位梯度面的模型算例，参数为 $D$=8 mm、NA=0.32、$f\approx$11.8 mm，非论文器件实测数据。

单片超透镜卡在哪一步：口径、带宽与数值孔径互相拉扯

超表面的相位来自亚波长结构的共振或波导效应，结构一旦定死，它对不同波长的响应就跟着固定。用一个具体数字感受这件事：把焦距按衍射元件的关系 $f(\lambda)\propto 1/\lambda$ 展开，同一片平面元件在 420 nm 处的焦距是 550 nm 处的 1.31 倍，到 680 nm 只剩 0.81 倍。以 $f(550\ \mathrm{nm})=11.8$ mm 为例，蓝端 15.51 mm、红端 9.58 mm，两端相差将近 6 mm，相对中心波长漂移约 50%。

折射透镜的色散要温和得多。N-BK7 玻璃在 d 线（587.6 nm）的阿贝数

$$V_d=\frac{n_d-1}{n_F-n_C}$$

代入 Sellmeier 数据得 $n_d=1.51680$、$n_F=1.52238$、$n_C=1.51432$，$V_d\approx64.1$；同一波段内单片非球面折射透镜的焦距跨度只有约 2.82%。换成等效阿贝数看更直接：衍射元件 $V=\lambda_d/(\lambda_F-\lambda_C)\approx-3.45$，折射玻璃 $+64.1$，符号相反，绝对值相差近 19 倍。

符号相反意味着可以互相抵消，强度差 19 倍则意味着抵消时绝大部分光焦度必须由折射面出。这还不是全部约束。一片超表面要在宽波段上消色差，每个 meta-atom 都得在几百纳米见方的面积里把跨波段的相位色散补偿出来，能腾挪的自由度有限；口径一大，边缘光线入射角变陡，单层结构既要偏折大角度又要保持效率，难度继续叠加。综述里对这条三角约束有过系统梳理，结论是单层介质超透镜很难同时把大孔径、宽波段和高数值孔径拿到手。

矢量广义斯涅尔定律：可微分的物理内核

要在设计流程里描述超表面的偏折，绕不开广义斯涅尔定律（generalized Snell’s law）。它的出发点是界面上的一层亚波长相位突变：光线在界面上不再只遵从 $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$，而是多出一项由相位梯度贡献的切向动量。写成切向波矢的守恒关系就是

$$k_t\sin\theta_t=k_i\sin\theta_i+\frac{1}{k_0}\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}x}$$

左边是出射波矢的切向分量，右边是入射波矢的切向分量加上相位梯度项。当相位梯度为零，它退化成普通的斯涅尔定律；梯度一开，偏折角就可以人为设定，这正是超表面能当透镜用的原因。

图 2：矢量广义斯涅尔定律的切向波矢关系与角色散。(a) 界面上引入相位梯度 $\nabla\phi$ 后，出射波矢的切向分量等于入射波矢切向分量加上相位梯度项；$k_i\sin\theta_i$ 与 $k_t\sin\theta_t$ 在切向相接。(b) 相位梯度固定为 $(1/k_0)\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}x=\sin 10°$ 时，同一个梯度对 420 nm 光给出 7.6° 偏折、对 680 nm 给出 12.4°：波长越长偏得越多，这就是超表面反号强色散的来源。

论文把这一步往前推了一格：它重新推导的是矢量形式。差别在哪？标量写法默认相位梯度只作用在偏折方向上，而大口径元件的边缘光线以十几度甚至更大的角度斜入射，波矢的三个分量都要参与分解，meta-atom 本身对不同偏振、不同入射角的响应也不一样。矢量广义斯涅尔定律要做的是把这些分量关系写完整，让光线追迹在斜入射下依然自洽。论文的整个优化框架建在这个关系上，追迹的每一步都能对设计参数求导。

图 2(b) 已经把色散的来源画清楚了：固定一个相位梯度，420 nm 和 680 nm 的偏折角相差 4.8°。这个差异在单片元件上就是色差本身；放到混合系统里，它变成一把可以利用的扳手，因为它与折射面的色散方向相反。同一张图也解释了为什么相位梯度不能随便加大：梯度越大，短波端越容易逼近掠射，超出全反射或结构可实现的偏折能力。

大孔径的代价：相位绕卷与边缘特征尺寸

分工的必要性可以用两个几何量说清楚，都不依赖论文的加工细节。

第一个量是边缘相位绕卷圈数。平面元件要把一束宽 $D$ 的平行光聚到焦距 $f$，边缘光线与中心光线的光程差是

$$\Delta \mathrm{OPD}=\sqrt{(D/2)^2+f^2}-f$$

以 $D=8$ mm、NA $=0.32$ 为例，由边缘光线张角 $\theta=\arcsin 0.32=18.66°$ 得 $f=(D/2)/\tan\theta\approx11.84$ mm（近轴近似 $NA\approx D/(2f)$ 会给 12.5 mm，在 f/1.5 这种快镜上已有 6% 偏差）。代进去，边缘光程差 0.656 mm，除以 550 nm 得约 1195 个 $2\pi$。也就是说，平面元件要独自承担全部光焦度时，相位轮廓得在半径 4 mm 内绕卷将近一千二百圈。

第二个量是最外环带宽度。环带宽度近似为

$$\Delta r\approx\frac{\lambda f}{2r}=\frac{\lambda}{2\tan\theta}$$

NA 0.32 时 $\Delta r\approx0.81\ \mu\mathrm{m}$；把 NA 提到 0.8，同样的式子给出 0.21 μm，已经进入深紫外光刻的极限区。图 3 把这两个量随口径和 NA 的变化画了出来。

图 3：平面超表面独自承担光焦度的相位代价（$\lambda$=550 nm）。(a) 固定 NA 0.32 时，边缘相位绕卷圈数随口径线性增长，8 mm 口径约 1195 圈；若改成固定焦距 11.8 mm，口径增大同时 NA 上升，曲线更陡。(b) 最外环带宽度 $\Delta r=\lambda/(2\tan\theta)$ 只由 NA 决定，NA 0.32 时约 0.81 μm，NA 0.8 时降到约 0.21 μm，逼近深紫外光刻的典型最小特征 0.35 μm。

把主体光焦度交给折射面之后，这两个量会同时松下来：折射面用曲面把波前收拢到接近会聚，超表面只需补上剩余的差额相位，相位动态范围和最小特征尺寸都降下来。这不是”超表面性能不够”的退让，而是把两套物理机制放到各自擅长的量程里。

分工怎么定：折射面担光焦度，超表面补差额相位

两片式消色差的条件是光学设计里的老结果：各组元的阿贝数不为零时，要让总光焦度不随波长变，需要

$$\frac{\Phi_{\mathrm{ref}}}{V_{\mathrm{ref}}}+\frac{\Phi_{\mathrm{meta}}}{V_{\mathrm{meta}}}=0$$

折射玻璃 $V_{\mathrm{ref}}\approx+64.1$，衍射型元件 $V_{\mathrm{meta}}\approx-3.45$，代入求解并与 $\Phi_{\mathrm{ref}}+\Phi_{\mathrm{meta}}=\Phi_{\mathrm{tot}}$ 联立，得到的分配是折射面约 94%、超表面约 6%。用这个分配去算 420–680 nm 的焦移，从单片折射透镜的 2.82% 降到 0.45%，降幅约 84%，和论文摘要给出的 83% 处在同一量级。

表 1：三类元件方案在 420–680 nm 的色差量级与分工（模型算例，以 550 nm 为基准，$D$=8 mm、NA=0.32；数据由 N-BK7 Sellmeier 色散与衍射元件 $f\propto1/\lambda$ 的关系算出，非论文实测）。

方案	色散来源	相对焦移	光焦度分配	主要代价
单片非球面折射透镜	材料色散，正常色散	2.82%	全部由折射面承担	口径与厚度、面型复杂度
单片衍射或超表面元件	相位梯度，反号强色散	50.1%	全部由平面元件承担	边缘相位绕卷约 1195 圈、最外环带 0.81 μm
折超混合	两种色散相消	0.45%	折射面约 94%、超表面约 6%	依赖联合优化与装配对准

表 1 里的分配比例只考虑了色差。真实系统还要处理球差、彗差、场曲这些单色像差，也要照顾斜入射下的效率与相位可实现性，几项要求会互相顶住，很难靠解析公式一次解出来。论文选择把分工交给优化器，让梯度下降自己去寻找折射面参数与超表面相位分布的配合方式。

联合优化：可微分光线追迹解决了什么

把系统写成一个可微分的映射，整套流程就变成一句话：光线在这种系统里的传播路径由一系列可导的运算组成，那么”最终像质”对”设计参数”的导数就能沿路径回传。

追迹链条上有三类运算。光线在折射面上按斯涅尔定律改变方向；在超表面平面上按矢量广义斯涅尔定律偏折，偏折量由该点相位梯度决定；两段元件之间按几何距离传播。每一步都是初等函数，链式法则可以直接穿过。设计变量取两组：一组是超表面的离散相位分布，一组是折射面的曲率、非球面系数和厚度一类几何参数。损失函数取多个波长、多个视场下焦斑的均方根半径或者波前误差的加权和，优化器据此同时调整两组变量。

这样做的好处是把”分工”从人的判断变成优化的输出。设计者不必先规定折射面拿多少光焦度，只要把物理约束写进损失函数，让优化器在相位可实现、梯度不超限的范围里搜索。可微分的另一层价值在系统层面：整个光学前端可以直接接到后续的计算成像重建网络后面，光学参数和重建算法一起训练。把超表面与几何透镜、图像处理放进同一个梯度优化框架，此前已有独立工作做过验证。

需要说清楚适用边界。把超表面当作相位梯度面来做光线追迹，前提是结构的特征尺寸远大于波长，相位响应可以用局部周期近似描述。厘米级系统里，这种光线近似和更严格的”光线－波动混合模型”给出的调制传递函数预测并不完全一致，后者把超表面处的衍射效应也算进去，预测更准。光线模型的优势是快、能覆盖大口径和多视场，适合放在优化内循环里；设计定稿前仍然要靠全波仿真复核，最后靠实测收口。折射光学设计软件里给衍射元件建模也有成熟传统，Sweatt 类模型把元件的色散写成与波长相关的等效折射率，近年的工作把它扩展到超表面的 meta-atom，让含超表面的系统能直接进入光线设计的优化循环，这条脉络与本篇的思路是相通的。

论文给出的结果与可核对的量级

论文报告的结果是：420–680 nm 波段内，8 mm 口径、NA 0.32 的混合系统实现消色差，色差相比单片非球面折射透镜降低 83%，并给出高质量全彩成像。可微分特性使这套光学前端能接入任意的可微分计算成像管线。

几个数字可以自己验一遍。由 $NA=\sin\theta$ 得边缘光线张角 18.66°，焦距 $f=(D/2)/\tan\theta\approx11.84$ mm，写成 f 数约 1.5。衍射极限焦斑的艾里半径 $r=0.61\lambda/NA$，取 $\lambda=550$ nm、NA 0.32 得 1.05 μm，焦斑直径约 2.1 μm。把论文报告的 83% 降幅折算回焦移量级，2.82% 的 17% 是 0.48%，与前文按两片式消色差条件算出的 0.45% 对得上。三张量级估计互相印证，说明这组指标在物理上是自洽的。

图 4：三类元件方案在 420–680 nm 的焦距相对漂移（以 550 nm 为基准）。单片衍射或超表面元件约 50.1%，N-BK7 单片非球面折射透镜约 2.82%，折超混合模型算例降到 0.45%，降幅约 84%，与论文摘要报告的 83% 处在同一量级。数值为按 Sellmeier 色散与两片式消色差条件算出的模型结果，非论文实测数据。

有两点必须交代清楚，免得把结论读过头。摘要没有说明 83% 这个降幅用的是什么判据，是焦距漂移、焦斑均方根半径还是别的度量，正文只按”相对单片非球面折射透镜降低 83%”原样转述。摘要也没有给出折射面与超表面各自承担的光焦度比例，94%/6% 是本平台按两片式消色差条件算出的量级估算，用于说明分工的物理必然性，不代表论文的设计取值。

意义与展望

这篇工作真正值得记下来的地方，是它把”谁负责光焦度、谁负责色差、谁负责残余波前”这条分工线，从设计者的经验判断变成可微分优化器的输出。折射面提供大孔径与宽波段所需的主体光焦度，超表面只在剩下的差额上做精细修正，两边的分工由梯度下降在物理约束内自己找。对超表面走向真实成像系统，这比再刷一次单片器件的效率更有意义。

顺着这条路往前，可以预期的方向有几处。一是与计算成像的联合设计：光学前端既然可微分，就能和后面的重建网络一起训练，把残余像差交给算法兜底，光学端的制造公差可以放宽。二是把同样的框架搬到其他波段，长波红外和大口径热成像对折射材料的色散与重量更敏感，折超混合的分工逻辑在那里同样适用。三是在设计变量里加入制造约束，例如把最小环带宽度、相位量化台阶数、套刻对准误差直接写进损失函数，让优化结果一开始就落在工艺窗口内。

从原理验证走到工程落地，仍有几处要推进：8 mm 口径超表面的相位标定与整片一致性、斜入射下的效率保持、光线近似与全波模型之间的偏差如何通过混合模型校正、以及大视场下残余像差的最终分配。这些是工艺与建模成熟度的问题，分工逻辑本身已经立住了。

常见误解

误以为可微分光线追迹只是把斯涅尔定律塞进自动微分框架。 实际上核心的前置工作是把界面上的广义斯涅尔定律推广到矢量、斜入射情形。大口径元件的边缘光线以十几度斜入射，标量形式的相位梯度关系不够用；这一步没做对，后面的梯度再自动也是错的。

误以为超表面在混合系统里出力越多越好。 实际上衍射型元件的色散强度约为折射玻璃的 19 倍，让它承担的光焦度越大，需要的相位绕卷圈数和最细特征尺寸就越苛刻：8 mm 口径、NA 0.32 时独自承担要绕卷约 1195 圈、最外环带 0.81 μm。两片式消色差条件给出的分工是折射面约 94%、超表面约 6%。

误以为”色差降低 83%”等于消色差已经做完。 实际上这个数字是相对单片非球面折射透镜的降幅，论文摘要没有给出对应的判据定义，残余色差仍然决定全彩成像的分辨率上限。本平台按两片式消色差条件估算的残余焦移约 0.45%，与它同一量级，但两者都不是零。

误以为光线追迹模型可以替代全波仿真。 实际上把超表面当相位梯度面的做法，前提是结构特征远大于波长、相位响应可用局部周期近似。已有工作显示，在厘米级系统里这种近似与光线－波动混合模型的调制传递函数预测存在差别，所以它适合放在优化内循环，设计定稿仍需全波复核与实测收口。

参考资料

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