傅里叶叠层成像原理：用 LED 阵列合成高数值孔径

一句话结论：一圈 LED 从不同角度照明，让低数值孔径物镜在傅里叶频谱里攒出一张高数值孔径复振幅图，相位靠迭代算法找回。

一台便宜显微镜的两难

用过显微镜的人大多遇到过这种别扭：换上高倍物镜，细胞里的细节清楚了，视野却窄得只能装下几个细胞；换回低倍物镜，视野开阔了，细节又糊成一团。这不是操作问题。常规显微镜的吞吐能力由光学系统的空间带宽积（space-bandwidth product，SBP，即系统能从光信号里取出的自由度数目）决定，分辨率与视场被牢牢绑在一起：一台 20×、数值孔径（numerical aperture，NA，衡量物镜收集大角度光的能力）约 0.4 的物镜，分辨率约 0.8 μm，视场直径约 1.1 mm，对应的 SBP 只有 7 megapixels 上下。

要跳出这个限制，最直接的办法是机械扫描：拍下许多小区域，再拼接成一张大图。代价是精密的位移台、逐块的自动对焦，以及随之而来的时间与对准误差。另一条路线把问题交给算法。样品不动、物镜不动，只改变照明方向，用一台低倍物镜连拍几十上百张低分辨率照片，再算出一张高分辨率复振幅图像。这套方法叫傅里叶叠层成像（Fourier ptychographic microscopy，FPM）。

换个角度照明，等于换个观察窗口

理解 FPM，先要接受一个傅里叶光学的说法：物镜真正”传递”的东西，可以在频谱里看成一个圆形窗口。物镜的相干传递函数就是半径等于 $\mathrm{NA}\cdot k_0$ 的圆孔，其中 $k_0 = 2\pi/\lambda$ 是真空波数。样品越细的结构，对应频谱里越靠外的频率；超出这个圆孔的部分，物镜一概收不到，分辨率因此有上限。

斜着照明改变了什么？当一束平面波以某个角度照到样品上，样品感受到的照明多了一个横向波矢分量。等效地看，样品频谱整体平移了一段，原本落在圆孔外的高频被搬进圆孔里，于是被相机记录下来。每换一个照明角度，就等于换一个观察窗口。

把最外圈照明能提供的角度折算成照明数值孔径 $\mathrm{NA_{illum}}$，物镜自身的孔径是 $\mathrm{NA_{obj}}$，两者叠加就能得到合成数值孔径：

$$\mathrm{NA_{syn}} = \mathrm{NA_{obj}} + \mathrm{NA_{illum}}$$

这就是 FPM 的分辨率上限从哪来的。2013 年的原型机上，物镜只有 2×、0.08 NA，最外圈 LED 提供的照明角把合成 NA 推到 0.5。

图 1：LED 阵列从多个角度依次照明样品，相机记录下一系列低 NA 图像，每张图对应傅里叶频谱上不同位置的子区域；计算相位恢复把各子区域拼合，输出高 NA 复振幅图像。

LED 阵列与光路长什么样

整套装置的主体仍是一台普通显微镜，改动主要在照明侧。2013 年那台原型机把可编程彩色 LED 阵列放在样品台下方约 8 cm 处，物镜工作距离约 6 mm；LED 的中心波长分别是 632 nm（红）、532 nm（绿）和 472 nm（蓝），每条谱线带宽约 20 nm，够得上准单色、空间相干的照明条件。相机端只记录强度，不需要干涉参考光，也不用相移元件。

部件或参数	该原型机的取值
物镜	2×、0.08 NA
照明	可编程彩色 LED 阵列，置于样品台下方约 8 cm
LED 中心波长	632 nm（红）、532 nm（绿）、472 nm（蓝），带宽约 20 nm
物镜工作距离	约 6 mm
合成数值孔径	0.5
重建分辨率	0.78 μm（USAF 靶第 9 组第 3 号元素线宽）
视场	约 120 mm²
景深	0.3 mm，且景深范围内分辨率基本不变

表 1：2013 年 FPM 原型机的主要参数，除注明外均在 632 nm 下表征。

图 2：傅里叶叠层成像的光路组成：LED 阵列从下方以不同角度照明样品，物镜收集衍射光，管镜在相机靶面成像，逐角度拍摄的强度图交给算法处理。

物镜决定视场，照明角度决定分辨率上限，两者分工明确。低倍物镜负责把 120 mm² 的大视场一次收全，代价是衍射极限只有 3.95 μm 左右（按 λ/2NA 估算：632 nm ÷ 0.16）。FPM 重建后，USAF 分辨率靶第 9 组第 3 号元素的 0.78 μm 线宽清晰可辨，分辨率提升约 5 倍；这与合成 NA 0.5 对应的约 0.63 μm 极限在同一量级。景深的表现同样反直觉：这套系统的 0.3 mm 景深，比常规 0.5 NA 物镜大约长 25 倍，而且在这个范围内分辨率几乎不随离焦变化。最终这张宽视场、高分辨的图，SBP 从过去的 7 megapixels 量级跳到约 1 gigapixel。

算法怎么把碎片拼起来

到这里，问题的关键浮出水面：相机只测强度，相位一概不知。相位却决定了哪块频谱该往哪里拼、拼得对不对。这正是相位恢复（phase retrieval）要解决的问题——只知道振幅谱，把相位找回来。

FPM 的办法是利用”重叠”。每张低分辨图对应频谱上的一个子区域，相邻子区域之间留出足够的交叠部分；同一块频谱区域会被两张甚至更多张不同照明角度的图覆盖，算法于是有了多余约束，相位不再自由。实现中采用的频谱重叠约为 65%。重叠不够，迭代就会跑偏，这一条是 FPM 能收敛的硬条件。

为了满足后续拼接的需要，原始图像还得拍得足够细：采样要求是 $\lambda/(2\cdot \mathrm{NA_{obj}})$。代入 632 nm 与 0.08 NA，得到约 3.95 μm——相机靶面上每个原始像素对应的样品尺寸必须不大于这个值，否则高频信息在拍摄阶段就已经丢失，后面再算也补不回来。

迭代的每一轮都按同一套动作走。

步骤	操作
1	对当前的高分辨复振幅猜测做傅里叶变换，得到频谱
2	按第 $i$ 个照明角度，在频谱中取出对应的子区域（相当于一次低通）
3	逆变换回空间域，得到一张低分辨目标图像
4	用第 $i$ 张测量强度的平方根替换它的振幅，相位保持不变
5	再变换回频谱，把该子区域写回高分辨频谱；换下一张图重复以上过程

表 2：FPM 迭代恢复流程中，每张低分辨强度图执行的一轮更新。

用测量值替换振幅这一步是整个算法的支点。测量到的强度是可靠的，猜测的振幅不可靠，那就只信测量，保留自己算出来的相位。遍历完全部 $N$ 张图算一轮，反复迭代直到收敛，再变换回空间域，输出一张高分辨的复振幅图——振幅给出强度像，相位给出定量相位像。

算完之后，代价也清楚。把 150×150 的原始像素重建为 1500×1500 的图块，单块耗时约 1 秒；拼接出整幅全视场图像约 10 分钟，这还是在没有动用 GPU 的 Intel i7 机器上。彩色成像要按三个波段各算一遍，时间还要再乘三。

分辨率能推到多高：NA 1.6 的例子

合成孔径公式里，$\mathrm{NA_{illum}}$ 能取多大，取决于照明角度能开到多大。空气中照明的数值孔径上限小于 1，所以早期 FPM 系统的有效成像 NA 大多停在 0.4 到 0.7 之间。想再往上走，得让照明也进入高折射率介质。

2017 年的一项工作给出了示范：用基于 LED 阵列的数字油浸聚光镜产生大角度平面波照明，把一台 10×、0.4 NA 物镜的最终有效成像 NA 推到 1.6。这里的照明数值孔径约 1.2，已经超过 1，靠的正是油浸。结果是在 435 nm 波长下实现 154 nm 的半周期分辨率，视场 2.34 mm²，SBP 达 98.5 megapixels，约等于同分辨率常规非相干显微镜的 50 倍。

数字之间还能互相印证一下：有效 NA 1.6、波长 435 nm，按 λ/2NA 估算的分辨极限约为 136 nm，实测半周期 154 nm，两者相差约 13%，量级吻合。这说明”照明角度换空间频率”这条链条在推到高 NA 时依然成立，只是照明的实现方式被迫从空气换成了浸没介质。

它和别的”超分辨”不是一回事

“超分辨”是一顶被好几类技术共用的帽子，路线差别很大。结构光照明超分辨（structured illumination microscopy，SIM）靠的是图案照明：把条纹光投到样品上，让观测窗口外的高频与照明条纹发生混频，搬进可观测区域，再用多帧相移在倒易空间把混叠的信息分离出来。FPM 不投图案，它换的是照明方向的顺序：一次一个角度，逐张采集，拼的是频谱位置。

技术	采集方式	分辨率提升的来源	典型适用场景
傅里叶叠层成像	固定样品与物镜，逐角度照明，记录强度图	照明角度提供额外频谱子区域，合成数值孔径等于物镜 NA 与照明 NA 之和	薄样品的大视场高分辨定量相位成像
结构光照明超分辨	图案照明，多帧相移采集	莫尔效应把观测区外的高频搬入可观测区，再在倒易空间分离重建	荧光显微中的亚细胞结构观察
扫描式叠层成像	探针在样品上带重叠地逐点扫描，记录衍射图	重叠衍射数据提供相位与频谱约束，不依赖成像透镜	X 射线、电子与极紫外波段的高分辨成像

表 3：三类常被并称为”叠层/超分辨”的技术在采集方式和提升机制上的差别。

图 3：可见光叠层成像重建的美国空军分辨率靶，用硬纸板上扎出的针孔作探针孔径采集（属于扫描式叠层成像，与本文讨论的傅里叶叠层成像采集方式不同）。

叠层成像这个大家族有一个共同特征：让一个已知的”探针”函数相对样品横向平移，且相邻位置的照明区域互相重叠，再记录远处的衍射图样去反推样品。平移不变性是这个家族的判别标志，用可见光、X 射线、电子和极紫外都能实现，覆盖的尺度跨度约九个数量级。FPM 属于其中的”照明角度扫描”变体：探针不动，照亮样品的平面波方向在变。

顺带说清另一个容易混淆的邻居。光场显微镜同样利用空间分辨与角度分辨之间的权衡，但它用一次快照换取整组视角，代价是牺牲空间分辨率；FPM 是把不同视角在时间上顺序拍下来，用这些角度换取二维样品更高的空间分辨率。

前提与边界

FPM 把一部分成像任务从光学系统转移给了算法，自然也要接受算法那边的约束。

最硬的一条是样品要薄。重建模型默认样品是二维薄相位物体，多次散射和厚样品内部的折射会破坏这个假设；处理厚样品通常要改用多层切片模型，或者干脆换回共聚焦之类的光学切片手段。

其次是照明角度的物理上限。空气中的照明数值孔径无法达到 1，因此单靠空气照明的 FPM 系统，合成 NA 的增幅是有天花板的。要突破这一点，就得像 2017 年那项工作一样引入油浸聚光镜，让照明光也穿过高折射率介质。

工程上还有一串标定工作：LED 的实际位置、逐个器件的亮度差异、暗电流、边缘视场的渐晕，任何一项没标好都会在频谱拼接时留下伪影。好在这套框架自带一条补偿通道——把物镜的光瞳函数一并作为未知量参与迭代，就相当于做了一次数字波前校正，既能修正像差，也能把景深扩展到光学系统的物理极限之外。

最后是算力与成像速度的取舍。原始图数量决定了频谱覆盖率，也决定了重建时间；那台原型机拼出一幅全视场高分辨图要约 10 分钟。把 FPM 推向动态活细胞观测这类场景，采集与重建的实时化是需要继续推进的方向。

常见误解

误以为 FPM 是把多张照片在空间域拼起来，好比手机的全景拼接。 实际上拼接发生在傅里叶空间：每张低分辨图对应频谱上的一个子区域，算法用测量强度替换振幅后写回频谱，空间域图像只是逆变换的结果。

误以为堆的 LED 越多、角度越大，分辨率就能一直往上走。 实际上合成数值孔径受 $\mathrm{NA_{obj}} + \mathrm{NA_{illum}}$ 约束，空气照明下 $\mathrm{NA_{illum}}$ 小于 1，而且原始图像采样要满足 $\lambda/(2\cdot \mathrm{NA_{obj}})$、相邻频谱子区域要有足够重叠，这些条件不满足，算法不收敛。

误以为相位是从硬件上直接测出来的。 实际上相机只记录强度，相位是靠重叠约束在迭代中找回来的；这也是 FPM 能同时给出定量相位像的原因。

误以为 FPM 与 X 射线、电子叠层成像是同一件事。 实际上 FPM 固定样品、改变照明方向；经典叠层成像移动探针并重叠扫描。两者共享”重叠测量重建复振幅”的思想，采集几何并不相同。

参考资料

1. Guoan Zheng, Roarke Horstmeyer, Changhuei Yang. Wide-field, high-resolution Fourier ptychographic microscopy. Nature Photonics 7, 739–745 (2013). DOI: https://doi.org/10.1038/nphoton.2013.187 ；作者手稿开放全文：https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC4169052/ ；预印本：https://arxiv.org/abs/1405.0226
2. Jiasong Sun, Chao Zuo, Lin Zhang, Qian Chen. Resolution-enhanced Fourier ptychographic microscopy based on high-numerical-aperture illuminations. Scientific Reports 7, 1187 (2017). DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-017-01346-7 ；开放全文：https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC5430655/
3. Guoan Zheng 等. Concept, implementations and applications of Fourier ptychography. Nature Reviews Physics 3, 207–223 (2021). DOI: https://doi.org/10.1038/s42254-021-00280-y
4. Wikipedia. Ptychography. https://en.wikipedia.org/wiki/Ptychography
5. Wikipedia. Phase retrieval. https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_retrieval
6. Wikipedia. Super-resolution microscopy. https://en.wikipedia.org/wiki/Super-resolution_microscopy
7. Wikimedia Commons. File:Fourier ptychography.jpg，作者 Miao1123，许可 CC BY 4.0。https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fourier_ptychography.jpg
8. Wikimedia Commons. File:Optical setup for Fourier ptychography.png，作者 22sm22，许可 CC BY-SA 4.0。https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Optical_setup_for_Fourier_ptychography.png
9. Wikimedia Commons. File:Ptychography experiment with visible light in a laboratory.jpg，作者 B. Enders（Royal Society Publishing），许可 CC BY-SA 4.0。https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ptychography_experiment_with_visible_light_in_a_laboratory.jpg