彩虹为什么总在太阳对面？从一滴水到 42° 光锥
雨刚停，太阳从身后照过来，前方还挂着一片雨幕——这是最容易见到彩虹的时刻。我们常说水滴“像三棱镜一样”把白光分开，这句话没有错，却漏掉了真正决定彩虹形状的关键：大量入射方向不同的光线，为什么会集中在大约 42° 的方向？又为什么最后看到的是一条圆弧，而不是天空中一片均匀的彩色光？
一滴水里发生了什么
先只看一个近似球形的水滴。形成主虹的典型光路可以拆成三步：阳光从空气进入水滴时发生第一次折射；光到达水滴背面后发生一次内部反射；最后从水滴返回空气时再次折射。要看到这束返回的彩光，太阳应在观察者身后，水滴则位于前方。
光在空气和水之间改变方向，满足斯涅尔定律：
$$
\sin i=n(\lambda)\sin r,
$$
其中 $i$ 是光线在空气中的入射角，$r$ 是水滴内的折射角，空气折射率近似取 1；$n(\lambda)$ 表明水的折射率与波长有关。
这正是颜色分开的原因。红光波长较长，在水中的折射率略小，弯折较少；蓝紫光的折射率略大，弯折更多。因此，原本重叠成白光的不同波长，离开水滴时已经朝向略有差别的方向。
不过，色散只解释了颜色为什么分开，还没有解释为什么在某个角度特别亮。
42° 从哪里来：光线在极值附近“挤”在一起
设主虹光线在水滴内反射一次。从入射方向算起，它经历的总偏折角可写成：
$$
D_1(i)=\pi+2i-4r.
$$
改变入射角 $i$，偏折角 $D_1$ 通常也会改变。但在某个入射角附近，$D_1$ 对 $i$ 的变化会暂时变得不敏感，也就是：
$$
\frac{dD_1}{di}=0.
$$
这里比“水滴像棱镜”更重要的一层物理图像是：许多入射位置略有不同的光线，在极值附近却以相近角度离开水滴。换句话说，入射角改变了一点，出射方向却几乎不变，于是更多光能挤进一小段角度范围，形成明亮色带。
对斯涅尔定律求导，可得到极值条件：
$$
\cos^2 i=\frac{n^2-1}{3}.
$$
观察者看到的彩虹视半径不是 $D_1$ 本身，而是相对太阳正对面——反太阳点——的角度：
$$
\alpha=\pi-D_1.
$$
右图把这个过程压缩成一条曲线：横轴是入射角 $i$，纵轴是观察者所对应的偏折角。曲线最低点附近相当平缓，因此一小段不同的入射角会被映射到几乎相同的出射方向。左图中的多条光线便在这里聚成一束；这不是某一条特殊光线突然变亮，而是许多相邻光线共同贡献的结果。
取水在可见光范围内的近似折射率，红光 $n\approx1.331$，紫光 $n\approx1.343$，代入可得：
| 颜色 | 极值入射角 | 主虹视半径 |
|---|---|---|
| 红光 | 59.53° | 42.37° |
| 紫光 | 58.83° | 40.65° |
所以主虹的红色位于外缘，紫色位于内缘。这里的折射率和角度是便于理解的近似值，会随波长与温度略有变化；“约 42°”才是应该记住的量级，而不是把小数点后的数字当成永远不变的常数。
为什么彩虹是圆弧，而且每个人看到的都不完全相同
天空中并不存在一条固定悬挂的彩色带。以观察者眼睛为顶点、以反太阳方向为轴，凡是能把红光以约 42° 送入眼睛的水滴，都分布在一个圆锥面上；紫光对应稍小的圆锥。眼睛看到圆锥与远处雨幕的方向交线，就是一圈圆。
地面挡住了圆的下半部，所以我们通常只看见拱形。若站在高山或飞机上，且下方也有水滴，就可能看到完整圆虹。
这也解释了两个容易忽略的事实：
- 彩虹会跟着观察者移动。你挪动位置后，满足同一观察角的水滴换了一批。
- 两个人不是在接收完全相同水滴发出的光。即使并肩站立，两双眼睛对应的光锥顶点也不同；不同颜色又从略有差异的角度进入眼睛，因此观察位置本身就是这个几何关系的一部分。
太阳高度还决定圆弧露出地平线多少。太阳越低，反太阳点越高，看到的虹越完整；太阳升高，彩虹整体下沉。从地面观察时，太阳高度若超过约 42°，主虹的最高点也会落到地平线以下。这就是为什么正午即使一边下雨一边出太阳，也往往难在地面看到高挂的主虹。
双彩虹为什么颜色反过来
副虹来自光在水滴内部发生两次反射后再离开。多一次反射意味着更多光能损失，所以副虹通常更淡；它出现在主虹外侧，视半径大约在 50° 到 53° 一带。更关键的是，两次反射改变了偏折随波长排列的方向，因此副虹是紫色在外、红色在内，正好与主虹相反。
主虹外缘和副虹内缘之间常显得比周围天空更暗，这片区域叫亚历山大暗带。在几何光学图像里，主虹和副虹各自把光集中到不同角度，中间区域得到的这些阶次光线较少，因此形成亮度对比。
偶尔还能在主虹紫色内侧看到几条很淡、很窄的附加彩带，称为过剩虹。它们不能只靠独立光线的几何轨迹完整解释，而来自不同光程光波的干涉。这提醒我们：42° 光锥可以由几何光学清晰解释，但水滴足够均匀时，波动光学仍会在细节上留下痕迹。
一句话重新理解彩虹
彩虹不是“白光被水滴染成七种颜色”，而是三个机制共同作用的结果：色散让不同波长走向不同角度；一次内反射和两次折射把光送回太阳相反方向；偏折函数的极值让许多光线在约 42° 附近聚集。无数水滴围绕观察者的反太阳轴共同送来这些光线，我们才看到红外紫内的一段圆。
下一次雨后看到彩虹，可以先背对太阳，再想象自己正站在一个巨大光锥的顶点。那条看似遥远的彩色拱桥，其实并不属于某一片固定天空——它由太阳、水滴和你此刻所在的位置共同决定。
参考资料
- Met Office：Rainbows——彩虹的观察条件、主虹与副虹的形成过程及完整圆虹。
- NASA Astronomy Picture of the Day：Rainbow at Sunset——色散、主副虹色序与过剩虹的图像说明。
- NASA Technical Reports Server：Scattering of light by water droplets——水滴散射、偏折极值与强度集中的技术分析。
- UCAR Center for Science Education：How Rainbows Form——观察者、水滴和不同颜色观察角之间的几何关系。
- NOAA Institutional Repository：Atmospheric Optics——太阳高度与地面主虹可见条件。