GDS里的圆弧为什么总是多边形：从弦高误差到顶点数控制

在版图软件里画一个直径 $20\,\mu\text{m}$ 的圆，看起来只是一次鼠标操作；但把文件写成 GDS 再放大，你看到的通常不是“真正的曲线”，而是一圈首尾相接的短直线。

这件事很容易被简化成一句话：**GDS 不支持圆，所以只能拿多边形凑。**方向大体没错，但工程上不够准确。真正决定结果的至少有四件事：曲线逼近容差、版图数据库单位（database unit，DBU）、单个多边形的顶点策略，以及下游工具如何解释 PATH 或 fracture 后的图形。

本文不讨论圆角究竟能降低多少衍射损耗，而是回答一个更基础、也更容易复现的问题：给定半径和允许误差，一个圆到底需要多少个顶点？

图 1　理想圆、内接多边形与最大弦高误差 $e$。示意图为本文自制。

先澄清：版图里的“圆”可能有三种命运

GDSII 的核心几何对象包括边界（BOUNDARY）和路径（PATH），它们最终都依赖一系列坐标点描述形状。KLayout 的几何文档也把与 GDS2 兼容的 SimplePolygon 定义为点构成的闭合轮廓。这就是为什么多边形是跨工具交换曲线时最常见、也最稳妥的形式。

但“GDS 里绝对没有任何圆的表达技巧”也不严谨。KLayout 文档提到，可以利用单点、圆端 PATH 表达圆，可它同时警告：其他系统不一定能正确读取，PATH 的一些边角行为在不同软件中也可能不同。工程上遇到这种兼容性不确定时，官方建议是转成 polygon。

如果换成 OASIS，情况又不同。gdstk 文档指出，OASIS 有圆形记录，也不采用与 GDS 输出相同的多边形顶点限制。于是，同一段 Python 代码产生的“圆”，写入 GDS 时可能经历多边形拆分，写入 OASIS 时却可能被识别并转换成圆形对象。

因此，更准确的说法是：

为了获得稳定的 GDS 跨工具兼容性，曲线通常会在导出前离散成多边形；格式和工具链不同，最终表示也可能不同。

一个圆需要多少条边？

把半径为 $R$ 的圆近似成内接正 $N$ 边形。每条边对应的圆心角是 $2\pi/N$。误差最大的地方不在顶点——顶点本来就在圆上——而在每条弦的中点。

从圆心到弦中点的距离为 $R\cos(\pi/N)$，所以圆弧与弦之间的最大径向偏差，也就是弦高误差（sagitta），为：

$$
e=R\left[1-\cos\left(\frac{\pi}{N}\right)\right].
$$

如果设计允许的最大误差是 $e_{\max}$，反解得到：

$$
N\geq
\frac{\pi}{\arccos\left(1-e_{\max}/R\right)}.
$$

最后把结果向上取整。这个公式给出的是完整圆所需的最小边数；对于张角为 $\Theta$ 的圆弧，可以按角度比例计算所需线段数。

当 $e\ll R$ 时，利用 $1-\cos x\approx x^2/2$，还能得到一个便于心算的近似：

$$
N\approx\pi\sqrt{\frac{R}{2e_{\max}}}.
$$

它揭示了一个很有用的尺度关系：将容差缩小到原来的 $1/4$，顶点数大约增加到原来的 2 倍，而不是 4 倍；在绝对误差不变时，圆越大，需要的顶点也越多。

1 nm 容差并不总是“精细得刚刚好”

把公式代入几组数值：

半径 $R$	最大弦高误差 $e_{\max}$	最小顶点数 $N$	代回后的实际误差
$1\,\mu\text{m}$	$1\,\text{nm}$	71	$0.9788\,\text{nm}$
$10\,\mu\text{m}$	$1\,\text{nm}$	223	$0.9923\,\text{nm}$
$10\,\mu\text{m}$	$5\,\text{nm}$	100	$4.9344\,\text{nm}$
$10\,\mu\text{m}$	$10\,\text{nm}$	71	$9.7877\,\text{nm}$
$100\,\mu\text{m}$	$1\,\text{nm}$	703	$0.9985\,\text{nm}$

这里最值得注意的不是“223”这个数字，而是它可能触发某些工具的多边形拆分策略。例如，gdstk 写 GDS 时默认使用 max_points=199，超过该值会被 fracture 成多个较小多边形。它们合起来仍然描述原来的形状，但对象数量、接缝结构、后续布尔运算和检查日志都可能发生变化。

需要强调：199 是 gdstk 的默认兼容策略，也是旧版 GDS 流程常见的顶点选择，不是自然定律。LayoutEditor 的格式说明区分了旧版常见的 200 点限制与较新记录允许的更高技术上限。最终应以你的完整工具链——版图编辑器、DRC、数据准备和制造端——共同支持的设置为准。

tolerance、DBU 和制造精度不是一回事

假设曲线离散程序把最大弦高误差设置为 0.001，而长度单位是微米。这只是在告诉几何生成器：多边形与理想曲线之间的逼近误差目标约为 $1\,\text{nm}$。

它不等于：

• 所有顶点坐标都能以任意精度写入 GDS；
• 光刻或电子束设备一定能复制出 $1\,\text{nm}$ 的轮廓变化；
• 仿真网格能分辨这一级别的差异；
• fracture 和布尔运算不会引入新的边界变化。

KLayout 将 GDS 兼容图形的整数坐标表示为 DBU。浮点多边形转成整数多边形时，坐标会舍入到最近的网格点。如果 DBU 本身就是 $1\,\text{nm}$，继续把曲线 tolerance 压到 $0.1\,\text{nm}$，通常只会制造更多顶点，写出时仍要落到同一个整数网格上。

所以，误差预算至少应拆成两层：

$$
e_{\text{total}}\quad\text{由曲线逼近误差、坐标网格误差和后续处理误差共同决定。}
$$

它们不一定能简单线性相加，但必须分别检查。只调小一个 tolerance，并不能证明最终版图更接近设计意图。

用 KLayout 生成并检查，而不是只相信参数

下面的代码使用 KLayout 的 Python 包计算理论顶点数，显式构造 DPolygon，再写出和回读 GDS。这样，曲线离散规则直接体现在代码里，DBU 也由版图库统一管理。

import math
from pathlib import Path

import klayout.db as db


def vertices_for_circle(radius_um: float, max_error_um: float) -> int:
    """返回内接正多边形满足弦高误差上限所需的最小顶点数。"""
    if not 0 < max_error_um < radius_um:
        raise ValueError("max_error_um 必须满足 0 < max_error_um < radius_um")
    return math.ceil(
        math.pi / math.acos(1 - max_error_um / radius_um)
    )


radius_um = 10.0
max_error_um = 0.001  # 1 nm
vertex_count = vertices_for_circle(radius_um, max_error_um)

points = [
    db.DPoint(
        radius_um * math.cos(2 * math.pi * index / vertex_count),
        radius_um * math.sin(2 * math.pi * index / vertex_count),
    )
    for index in range(vertex_count)
]

output_path = Path("curve-test.gds")
layout = db.Layout()
layout.dbu = 0.001  # µm/DBU，即 1 nm
top = layout.create_cell("CURVE_TEST")
layer = layout.layer(1, 0)
top.shapes(layer).insert(db.DPolygon(points))
layout.write(str(output_path))

# 用新的 Layout 回读，检查实际写入的对象和顶点数。
check = db.Layout()
check.read(str(output_path))
shapes = list(check.top_cell().shapes(check.layer(1, 0)).each())
print(vertex_count)  # 223
print(len(shapes), [shape.polygon.num_points() for shape in shapes])

layout.dbu = 0.001 表示一个数据库单位是 $0.001\,\mu\text{m}$，也就是 $1\,\text{nm}$。它与 max_error_um = 0.001 数值上相同，但语义不同：前者控制坐标量化，后者控制我们构造多边形时允许的弦高误差。

在本文的 Windows 临时环境中使用 KLayout 0.30.10 实测，理论计算得到 223 个顶点；写出并重新读入后仍是 1 个、223 点的多边形。这说明“是否 fracture”是具体工具和写出配置的行为，不能把 gdstk 的默认值套用到 KLayout。完整可运行版本保存在本文素材包的 create_circle_klayout.py 中。

一套更稳妥的圆弧离散流程

实际项目中，可以按下面的顺序做：

1. 先确定误差预算。 依据仿真网格、最小特征尺寸和器件对边界的敏感度决定，而不是机械地写成 $1\,\text{nm}$。
2. 用弦高公式估算顶点数。 如果顶点数异常大，先判断容差是否已经小于 DBU 或实际工艺分辨能力。
3. 检查顶点与 fracture 策略。 确认 max_points 以及下游 DRC、数据准备软件的兼容范围。
4. 导出后重新读入。 检查多边形数量、顶点数、包围盒、面积和关键尺寸，不要只检查写文件是否报错。
5. 在物理仿真中做收敛测试。 选择粗、中、细三档曲线容差；如果目标光学量已经收敛，就没有必要继续增加顶点。
6. 最后再决定格式。 如果工具链完整支持 OASIS，包含大量曲线或重复结构的版图可能有更合适的表达方式；不要仅因为习惯就默认所有中间文件都必须是 GDS。

结语：精度不是顶点越多越好

曲线离散本质上是一个误差分配问题。顶点太少，几何偏差可能进入仿真和制造；顶点过多，又会增加 fracture、布尔运算、文件处理和兼容性成本。

真正稳妥的做法不是寻找一个适用于所有项目的固定边数，而是把半径、弦高误差、DBU、工具上限和物理敏感度放进同一套检查流程。这样，GDS 中那一圈肉眼几乎看不见的短线段，才是经过验证的工程近似，而不是“看起来够圆”。

---

参考来源

• gdstk：ellipse API
• gdstk：Getting Started — Circles
• KLayout：Python 模块
• KLayout：Layout 类
• KLayout：Geometry API
• KLayout：Paths
• LayoutEditor：GDSII format notes