激光输出特性：阈值增益、斜率效率与最佳输出耦合透过率
一句话结论：输出镜透过率同时抬高阈值和斜率效率；最大输出在两者乘积的极值处，最佳值由腔内损耗和泵浦水平共同决定。
一、输出镜：腔的一个端口
激光器由增益介质、泵浦和光学反馈三部分组成。增益介质把泵浦能量变成粒子数反转，受激辐射让同频、同相的光子增加；两端的反射结构把光送回增益介质，让一次放大的光有机会反复通过。三者缺一不可：没有泵浦，增益抵不过损耗；没有反馈，光只穿过介质一次。输出耦合镜就是这组反馈结构里故意”不完美”的一面：它对腔内光部分反射、部分透射，透出去的那部分成为激光输出。
设输出耦合镜对激光波长的功率透过率为 $T$，另一面镜接近全反。把镜面吸收与散射、介质吸收、衍射逸出等都折进往返寄生损耗 $l$。光在腔内走一圈，往返经过增益介质两次，输出镜放走比例 $T$，其余寄生损耗为 $l$。这里的 $T$ 和 $l$ 都按往返一次的功率比例计；驻波腔每次往返只在输出镜处透出一次，另一次经过的是全反镜。两个极端都不行：$T=0$ 时没有有用输出，能量只能耗在腔内；$T$ 太大时反馈不足，阈值被推到泵浦功率之上，激光器根本不起振。
图 1：典型固体激光器与光纤激光器的腔结构示意。增益介质提供放大，两端的反射结构构成反馈；只要其中一端部分透射，腔内的一部分光就成为输出。
二、阈值增益：增益与损耗的第一次平衡
光往返一次，强度先被放大 $e^{2gL}$，再被输出耦合和寄生损耗留下 $(1-T)(1-l)$。阈值是”增益恰好补上损耗”的工作点：
$$ e^{2gL}(1-T)(1-l)=1. $$
这里的 $g$ 是增益介质的强度增益系数，$L$ 是光在增益介质中单程经过的长度。取小损耗近似 $\ln(1-x)\approx-x$，并把寄生损耗写成 $l=2\alpha L$，上式化为
$$ g_{\mathrm{th}}=\alpha+\frac{T}{2L}. $$
$\alpha$ 是介质的分布损耗系数，单位是 $\mathrm{m^{-1}}$；$T/(2L)$ 是输出耦合折算到每米上的增益需求。这个式子说明阈值增益不是材料的固定属性：同一根晶体，换一面更透的输出镜，要求的增益就更高。
用一组接近掺钕钇铝石榴石（Nd:YAG）的量级参数代入：$L=10\ \mathrm{mm}=0.010\ \mathrm{m}$，$\alpha=1\ \mathrm{m^{-1}}$，于是 $l=2\alpha L=0.020$。当 $T=4.32\%$ 时，
$$ g_{\mathrm{th}}=1+\frac{0.0432}{2\times0.010}=3.16\ \mathrm{m^{-1}}, $$
也就是每厘米约 3.2% 的强度增益。把输出镜换成 $T=1\%$，$g_{\mathrm{th}}$ 降到 $1.5\ \mathrm{m^{-1}}$；换成 $T=10\%$，升到 $6.0\ \mathrm{m^{-1}}$。透过率从 1% 变到 10%，阈值增益变成四倍。低增益激光器要用高反镜，原因就在这里：它们能提供的 $g$ 本来就不多，输出耦合必须省着用。
三、阈值泵浦与斜率效率：一条直线的两个参数
阈值增益给出后，阈值泵浦功率就不难写。设小信号增益正比于泵浦功率，$g_0=\kappa P_{\mathrm{p}}$；$T=0$ 时阈值对应 $g_0=\alpha$，记这时的泵浦功率为 $P_{\mathrm{th0}}$。由 $g_0=\alpha+T/(2L)$ 得
$$ P_{\mathrm{th}}=P_{\mathrm{th0}}\left(1+\frac{T}{l}\right). $$
换输出镜会同时改变两个量：阈值功率按 $1+T/l$ 右移，阈值以上的斜率则由输出耦合效率和泵浦效率决定。把输出功率写成
$$ P_{\mathrm{out}}=\eta_{\mathrm{sl}}\left(P_{\mathrm{p}}-P_{\mathrm{th}}\right), \qquad \eta_{\mathrm{sl}}=\eta_{\mathrm{pump}}\,\eta_{\mathrm{oc}}, \qquad \eta_{\mathrm{oc}}=\frac{T}{T+l}. $$
$\eta_{\mathrm{sl}}$ 叫斜率效率（微分效率），是阈值以上 $P_{\mathrm{out}}$–$P_{\mathrm{p}}$ 直线的斜率；$\eta_{\mathrm{oc}}$ 是输出耦合效率，衡量”腔里损耗掉的能量中有多少是从输出镜有用取出的”；$\eta_{\mathrm{pump}}$ 把泵浦吸收、量子缺陷、无辐射复合等折成一个集总因子。$\eta_{\mathrm{pump}}$ 不是本文推导的对象，但比较两台激光器时必须确认它是相对入射泵浦还是吸收泵浦定义的，否则斜率效率不可直接比较。
仍取 $l=0.020$、$P_{\mathrm{th0}}=1\ \mathrm{W}$、$\eta_{\mathrm{pump}}=0.5$，在 $P_{\mathrm{p}}=10\ \mathrm{W}$ 下换三面输出镜：
| $T$ | $\eta_{\mathrm{oc}}$ | $P_{\mathrm{th}}$ (W) | $P_{\mathrm{out}}$ (W) |
|---|---|---|---|
| 1.0% | 0.333 | 1.50 | 1.42 |
| 4.32% | 0.684 | 3.16 | 2.34 |
| 10% | 0.833 | 6.00 | 1.67 |
表 1：同一腔在三面输出镜下的阈值与输出。取 $l=2\%$、$P_{\mathrm{th0}}=1\ \mathrm{W}$、$\eta_{\mathrm{pump}}=0.5$、$P_{\mathrm{p}}=10\ \mathrm{W}$；按 $P_{\mathrm{th}}=P_{\mathrm{th0}}(1+T/l)$、$\eta_{\mathrm{oc}}=T/(T+l)$、$P_{\mathrm{out}}=\eta_{\mathrm{pump}}\eta_{\mathrm{oc}}(P_{\mathrm{p}}-P_{\mathrm{th}})$ 计算。
表里最值得注意的是最后一列：$T=10\%$ 的斜率效率最高（0.417），输出却不是最大；$T=4.32\%$ 的斜率效率只有 0.342，输出反而比它高 40%。原因不复杂：$T$ 越大，$\eta_{\mathrm{oc}}$ 越接近 1，但阈值也越靠右。在固定泵浦下，输出是”取出的比例”和”超过阈值多少”两件事的乘积，单看斜率会漏掉后一半。
图 2：同一腔（$l=2\%$、$P_{\mathrm{th0}}=1\ \mathrm{W}$、$\eta_{\mathrm{pump}}=0.5$）在三面不同输出镜下的输出功率—泵浦功率曲线。$T$ 越大，阈值截距越靠右、斜率越陡；在 10 W 泵浦处，三条线的输出分别为 1.42 W、2.34 W、1.67 W。
四、最佳输出耦合：对 $T$ 求极值
有了 $P_{\mathrm{th}}(T)$ 和 $\eta_{\mathrm{oc}}(T)$，就可以在固定泵浦下问：哪一面输出镜给出最大输出？把 $p=P_{\mathrm{p}}/P_{\mathrm{th0}}$ 和 $u=T/l$ 代入 $P_{\mathrm{out}}$：
$$ P_{\mathrm{out}}(u)=\eta_{\mathrm{pump}}P_{\mathrm{th0}}\, \frac{u}{1+u}\,\left(p-1-u\right). $$
对 $u$ 求导并令其为零：
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\left[\frac{u(p-1-u)}{1+u}\right]=0 \quad\Longrightarrow\quad u^2+2u-(p-1)=0. $$
取正根 $u=\sqrt{p}-1$，回到 $T$：
$$ T_{\mathrm{opt}}=l\left(\sqrt{p}-1\right). $$
输出要为正，还需要 $u<p-1$，即 $T<l(p-1)$；这个上限记为
$$ T_{\max}=l(p-1). $$
$T_{\mathrm{opt}}$ 和 $T_{\max}$ 都按往返损耗的比例计，用百分比表示时要乘 100。它们的分工不同：$T_{\mathrm{opt}}$ 是输出最大的位置，$T_{\max}$ 是还能起振的最后一线；$p>1$ 时 $\sqrt{p}-1<p-1$，所以最佳点总在可行区内部，不会贴在”刚好不起振”的边缘上。
把 $T_{\mathrm{opt}}$ 代回阈值式，会得到一个简洁的结论：
$$ P_{\mathrm{th}}(T_{\mathrm{opt}})=P_{\mathrm{th0}}\sqrt{p}, \qquad \frac{P_{\mathrm{p}}}{P_{\mathrm{th}}(T_{\mathrm{opt}})}=\sqrt{p}, \qquad \eta_{\mathrm{oc}}(T_{\mathrm{opt}})=1-\frac{1}{\sqrt{p}}. $$
也就是说，最佳输出耦合把激光器放在”$\sqrt{p}$ 倍阈值”的位置，同时让输出耦合效率达到 $1-1/\sqrt{p}$。这两个量都由泵浦比 $p$ 决定，不需要单独测增益。
用前面的例子：$l=0.020$、$p=10$，得到 $T_{\mathrm{opt}}=4.32\%$、$T_{\max}=18.0\%$；最佳点工作在 $3.16$ 倍阈值，$\eta_{\mathrm{oc}}=0.684$，与表 1 的 4.32% 行一致。若把泵浦提高到 $p=20$，$T_{\mathrm{opt}}$ 升到 $6.94\%$；若泵浦只有 $p=5$，最佳值降到 $2.47\%$。同一面 4.32% 的输出镜，在 $p=5$ 时偏大、在 $p=20$ 时偏小。
表 2：$l=2\%$ 时不同小信号往返增益 $G_0$ 下的最佳输出耦合。$p=G_0/l$，$T_{\mathrm{opt}}=l(\sqrt{p}-1)$；最后一列是最佳点处 $P_{\mathrm{p}}/P_{\mathrm{th}}$ 的比值。
| $G_0$ | $p=G_0/l$ | $T_{\mathrm{opt}}$ | $\eta_{\mathrm{oc}}$ | $P_{\mathrm{p}}/P_{\mathrm{th}}$ |
|---|---|---|---|---|
| 0.05 | 2.5 | 1.16% | 0.368 | 1.58 |
| 0.10 | 5.0 | 2.47% | 0.553 | 2.24 |
| 0.20 | 10.0 | 4.32% | 0.684 | 3.16 |
| 0.40 | 20.0 | 6.94% | 0.776 | 4.47 |
图 3：(a) 固定泵浦下输出功率随 $T$ 的变化，圆点为各自的 $T_{\mathrm{opt}}$；$p=5$、$10$、$20$ 对应最佳透过率 2.5%、4.3%、6.9%。(b) 归一化最佳透过率 $T_{\mathrm{opt}}/l=\sqrt{p}-1$ 与可行上限 $T_{\max}/l=p-1$；两者都随泵浦比增大，但 $T_{\mathrm{opt}}$ 始终低于 $T_{\max}$。
五、最佳点的性质：平坦顶端与目标依赖
实际选镜片时，没人能把 $T$ 精确做到 4.32%。有利的一点是，最佳点附近很平：在 $p=10$、$l=2\%$ 的例子里，$T$ 从 4.32% 变到 3.46% 或 5.19%（±20%），输出只下降 1.5% 和 1.1%。这给镀膜容差留出了空间：输出镜的透过率偏差几个百分点，通常不至于让输出明显变差。
但”平”只在极大值附近成立。把 $T$ 推到 15%，阈值升到 8.5 W，10 W 泵浦下只剩 0.66 W 输出；到 18%，阈值正好等于 10 W，输出为零。此时 $\eta_{\mathrm{oc}}=0.9$，斜率效率接近它能达到的最高值，但激光器已经停在起振边缘。这就是”斜率效率最高”与”输出最大”分道扬镳的地方：前者希望 $T\gg l$，后者要求 $T$ 与 $l$、$p$ 匹配。
还有一个容易被忽略的限定：上面的”最佳”是”固定泵浦功率下使输出功率最大”。如果目标换成最大斜率效率，答案会偏向更大的 $T$；如果目标是低阈值，答案会偏向更小的 $T$；如果目标是长期稳定或低噪声，还要把腔内功率密度、热效应和模式稳定性算进去。离开目标谈”最佳透过率”没有意义。
六、从测量到设计：用几个输出镜读出损耗
设计或诊断一台激光器时，$l$ 和 $P_{\mathrm{th0}}$ 往往未知。它们可以从阈值随输出耦合的变化中读出来。把 $P_{\mathrm{th}}=P_{\mathrm{th0}}(1+T/l)$ 展开：
$$ P_{\mathrm{th}}(T)=P_{\mathrm{th0}}+\frac{P_{\mathrm{th0}}}{l}\,T. $$
这是一条以 $T$ 为横轴的直线：截距是零耦合阈值 $P_{\mathrm{th0}}$，斜率是 $P_{\mathrm{th0}}/l$。用至少三到四面透过率不同的输出镜测出各自的阈值，拟合直线，就能得到
$$ l=\frac{\text{截距}}{\text{斜率}}. $$
有了 $l$ 和 $P_{\mathrm{th0}}$，再代入工作泵浦功率 $P_{\mathrm{p}}$，就能预测
$$ T_{\mathrm{opt}}=l\left(\sqrt{\frac{P_{\mathrm{p}}}{P_{\mathrm{th0}}}}-1\right). $$
这就是 Findlay–Clay 方法的基本思路：不直接测腔内损耗，而是从阈值随输出耦合的变化中反推损耗。文献里对两台镨（Pr）掺杂氟化物激光器用同样的方法估出约 2.3% 和 4% 的最佳透过率；它们对应不同的晶体与腔，不能直接搬到别的器件上。
图 4：阈值泵浦功率随输出耦合透过率的变化。两条直线对应不同的寄生损耗与零耦合阈值；截距给出 $P_{\mathrm{th0}}$，斜率与截距之比给出 $1/l$。空心圆表示四个测量点。
实际拟合时有两点要注意。第一，$T=0$ 的点测不到（没有输出），截距是外推值；外推是否可靠，取决于小 $T$ 段是否保持线性。第二，若测量点明显偏离直线，先不要归因于”增益不稳”：热透镜会随泵浦改变模场面积和损耗，模式跳变会让阈值落在不同横模上，$T$ 较大时线性近似本身也会失效。把泵浦固定在相同水平、用同一横模起振、把 $T$ 控制在十几个百分点以内，直线才有意义。
七、适用边界：公式没有覆盖的部分
本文的整条链建立在一组近似上。第一条是 $T$ 与 $l$ 都远小于 1，阈值式取了 $\ln(1-x)\approx-x$。在 $T_{\mathrm{opt}}=4.32\%$ 处，线性式与保留对数项的 $g_{\mathrm{th}}=-\ln[(1-T)(1-l)]/(2L)$ 相差约 1.8%；到 $T=18\%$ 附近，差别约 8.5%。所以 $T$ 在 10% 以内误差约 4.4%，用本文的式子足够；把输出耦合推到很大时要把对数项放回去。
第二条是均匀加宽、单横模、稳态运转。增益饱和按 $1/(1+I/I_{\mathrm{sat}})$ 处理时，最佳点由”取出比例”和”饱和后剩余增益”共同决定；非均匀加宽的饱和规律不同，空间烧孔和多模竞争会改变增益沿腔长的分布，两者都会移动最佳 $T$。多模激光器尤其不能把单模的 $T_{\mathrm{opt}}$ 直接套用：不同横模的模场面积和损耗不同，阈值和斜率都不同。
第三条是四能级、固定泵浦、$g_0\propto P_{\mathrm{p}}$。准三能级介质在低泵浦时有重吸收，$P_{\mathrm{th}}(T)$ 不再是严格的直线，斜率效率也会随泵浦变化；泵浦吸收饱和、量子缺陷发热和热透镜会让 $\eta_{\mathrm{pump}}$ 与 $l$ 都随工作点漂移。对这类激光器，最佳 $T$ 最好在目标泵浦附近实测，而不是用一组常温参数外推。
第四条是连续运转。调 Q 和锁模激光器优化的是脉冲能量、峰值功率或脉冲宽度，不是连续输出功率；它们的输出耦合选择还受腔内功率密度、损伤阈值和脉冲建立时间影响。把连续光的 $T_{\mathrm{opt}}$ 搬到脉冲激光器上，最多只能作为起点。
这些边界并不推翻前面的关系，而是说明”最佳”是一个有条件的局部结论。把条件写清楚，公式才有用：在 $T\lesssim10\%$、单横模、四能级、固定泵浦的范围内，$T_{\mathrm{opt}}=l(\sqrt{p}-1)$ 给出的是一个可以实测检验的预测，而不是一条普适定律。
顺带可以核对一个常见量级：最佳点工作在 $\sqrt{p}$ 倍阈值。这里 $p$ 是相对零耦合阈值的泵浦比，不是相对当前阈值的倍数；若 $p$ 在 9 到 100 之间，这个倍数正好落在 3 到 10 倍，与”多数激光器工作在阈值数倍”的经验一致。这也解释了为什么最佳输出耦合通常不是让激光器贴着阈值运行：贴着阈值虽然阈值低，但取出的功率也少。
把阈值、斜率和最佳透过率放在同一张往返损耗预算上看，它们不是三个独立的参数，而是同一个损耗分配在三个位置上的读数：阈值看的是”增益够不够”，斜率看的是”取出的比例”，最佳点看的是”取出的比例”与”阈值被抬高多少”的乘积。输出镜的透过率，就是在这三者之间做的一次分配。
参考资料
- Rüdiger Paschotta. Laser Threshold. RP Photonics Encyclopedia, 2005（2025 年修订）.
- Rüdiger Paschotta. Slope Efficiency. RP Photonics Encyclopedia.
- Rüdiger Paschotta. Output Coupling Efficiency. RP Photonics Encyclopedia.
- OpenStax. 8.6 Lasers. University Physics Volume 3. CC BY 4.0.
- Alberto Sottile. Visible Solid-State Lasers in Praseodymium-Doped Fluoride Crystals. PhD thesis, University of Pisa, 2017.
- Matthew Leigh. File:Laser Diagram.svg. Wikimedia Commons, CC BY 3.0.