高斯光束参数与传输：束腰、瑞利长度、M² 与 ABCD

一句话结论：高斯光束的束腰、瑞利长度与发散角由波长和束腰唯一锁定，M² 把同一组关系推广到真实光束。

一、从傍轴波动方程到厄米-高斯模

一束激光如果真是无限大的平面波，它不会发散；但任何实际光束的横向尺寸都有限。把有限宽度的光场做平面波展开，会得到一束传播方向略有差异的平面波，它们的干涉在传播一段距离后必然让光斑变宽。这就是衍射，和激光器做得好不好无关。要描述一束既沿 $z$ 轴传播、横向又保持光滑分布的光，最省事的做法是先承认发散很小，再解一个近似方程。

从标量亥姆霍兹方程出发：

$$ \nabla^2 E+k^2E=0 $$

其中 $k=2\pi/\lambda$。设光沿 $z$ 轴传播，把场写成 $E(x,y,z)=u(x,y,z)e^{-ikz}$，$u$ 是随 $z$ 缓慢变化的复包络。代入后得到

$$ \nabla_T^2u-2ik\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0. $$

如果光束发散足够慢，$u$ 对 $z$ 的二阶导数远小于一阶项，

$$ \left|\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right|\ll\left|2k\frac{\partial u}{\partial z}\right|, $$

就得到傍轴波动方程：

$$ \nabla_T^2u-2ik\frac{\partial u}{\partial z}=0. $$

“傍轴”在这里有可操作的含义：光束与 $z$ 轴的夹角很小，发散半角满足 $\theta^2\ll1$；对高斯光束，这等价于 $w_0\gg\lambda/\pi$。后文会看到，当聚焦到波长量级时，这个条件开始失效，需要更严格的方法。

这个方程在直角坐标下分离变量，得到一族正交解——厄米-高斯模。第 $(m,n)$ 阶模的电场可以写成

$$ E_{mn}=C_{mn}\frac{w_0}{w(z)}H_m\!\left(\frac{\sqrt2x}{w(z)}\right)H_n\!\left(\frac{\sqrt2y}{w(z)}\right) \exp\!\left[-\frac{r^2}{w^2(z)}\right] \exp\!\left\{-i\left[kz+\frac{kr^2}{2R(z)}-(m+n+1)\zeta(z)\right]\right\}, $$

其中 $r^2=x^2+y^2$，$H_m$ 是厄米多项式，$w(z)$ 是束宽，$R(z)$ 是波前曲率半径，$\zeta(z)$ 是 Gouy 相位，$C_{mn}$ 是归一化常数。时间约定取 $e^{-i\omega t}$；若换用 $e^{+i\omega t}$，相位整体取共轭，$(m+n+1)\zeta$ 的符号也会随之改变；物理上的附加相位是同一个量，只是写法随约定改变。

取 $m=n=0$，$H_0=1$，上式退化为基模高斯光束。它的强度是

$$ I_{00}(r,z)=I_0\left[\frac{w_0}{w(z)}\right]^2e^{-2r^2/w^2(z)}. $$

指数里的因子 2 来自电场平方，所以 $r=w$ 处强度降到峰值的 $e^{-2}\approx13.5\%$。这个 $w$ 就是常说的 $1/e^2$ 半径；在 $r<w$ 的圆内集中了约 $1-e^{-2}\approx86.5\%$ 的功率。若用半高全宽（FWHM）描述，同一高斯光束的 FWHM 直径约为 $1.177w$，数值不同但描述的是同一个分布。

高阶模的强度分布是

$$ I_{mn}=I_0\left[\frac{w_0}{w(z)}\right]^2H_m^2\!\left(\frac{\sqrt2x}{w}\right)H_n^2\!\left(\frac{\sqrt2y}{w}\right)e^{-2r^2/w^2}. $$

$m$、$n$ 分别给出 $x$、$y$ 方向的暗节线数目：TEM00 没有节线，TEM01 和 TEM10 各有一条，TEM11 有两条。图 1 把这些横模排在一起，可以看到光斑形状是模阶的直接结果，而不是人为选定的图样。

图 1：厄米-高斯横模的强度分布。横向指数 $(m,n)$ 分别对应 $x$、$y$ 方向的暗节线数目；左上角的 TEM00 是基模，横向分布为单一高斯。

稳定谐振腔的本征模通常可以写成厄米-高斯模的叠加，基模 TEM00 的光束质量最好，所以很多激光器会通过选模尽量只让基模起振。这里不展开腔的纵模与选模条件，只需记住：从腔里出来的横模阶数越高，横向图样越复杂，后面要讲的 $M^2$ 也越大。

二、束腰、瑞利长度、发散角与波前

高斯光束的横向分布由 $w(z)$ 描述，而整条 $w(z)$ 曲线只由两个量决定：束腰半径 $w_0$ 和波长 $\lambda$。把束腰放在 $z=0$，束宽随传播距离变化为

$$ w(z)=w_0\sqrt{1+\left(\frac{z}{z_R}\right)^2}, $$

其中

$$ z_R=\frac{\pi w_0^2}{\lambda} $$

称为瑞利长度。$z=0$ 处 $w=w_0$，这是整束光最细的位置，称为束腰。$|z|=z_R$ 时 $w=\sqrt2w_0$，光斑面积正好翻倍；所以 $z_R$ 常被当作光束开始明显发散的尺度，$2z_R$ 则常被称为准直距离或共焦参数。严格说 $2z_R$ 不是硬截止，超过它以后束宽仍连续增大，只是在 $|z|\ll z_R$ 的范围内 $w(z)\approx w_0$，看起来像平行光。

远场 $z\gg z_R$ 时，$w(z)\approx w_0 z/z_R$，光束变成一条以束腰为顶点的圆锥。定义远场发散半角

$$ \theta=\frac{\lambda}{\pi w_0}, $$

于是 $w(z)\approx\theta z$。把 $z_R$ 和 $\theta$ 的表达式相乘，得到一个很好用的恒等式：

$$ w_0=\theta z_R. $$

它说明束腰、瑞利长度和发散角不是三个独立的数：只要知道其中两个，第三个就定了。工程上常用的光束参数乘积（beam parameter product，BPP）是 $w_0\theta$；对理想高斯光束

$$ \mathrm{BPP}=w_0\theta=\frac{\lambda}{\pi} $$

只由波长决定。想让光束传得远，就要把 $w_0$ 做大、把 $\theta$ 做小；想把光聚得很细，就要接受更大的发散角。这是衍射给出的交换关系，不是透镜或激光器的工艺缺陷。

波前的形状由曲率半径 $R(z)$ 描述：

$$ R(z)=z\left[1+\left(\frac{z_R}{z}\right)^2\right]. $$

在束腰处 $R\to\infty$，波前是平面；离开束腰后 $R$ 先减小，在 $z=z_R$ 附近达到极小值 $2z_R$，然后随 $z$ 增大而渐近于 $R\approx z$，也就是球面波。图 2 把这些量画在同一条束宽曲线上；图 3 则把聚焦光束的等相位面画出来，可以直观看到束腰附近波前接近平面、离开束腰后逐渐弯曲。

图 2：高斯光束的束腰、瑞利长度与远场发散角。束腰处半径最小；在 $z=\pm z_R$ 处束宽增至 $\sqrt2w_0$；远场两条渐近线的半角为 $\theta$。

图 3：聚焦高斯光束的强度分布与等相位面。点线表示波前，虚线表示束宽；束腰附近波前接近平面，离开束腰后波前逐渐弯曲。

除了曲率半径，高斯光束还有一个不改变强度、却会改变相位的量：Gouy 相位

$$ \zeta(z)=\arctan\left(\frac{z}{z_R}\right). $$

从束腰前很远处传到束腰后很远处，基模的 Gouy 相位总共变化 $\pi$；第 $(m,n)$ 阶模则变化 $(m+n+1)\pi$。它不影响 $|E|^2$，但在干涉、谐振腔模式和锁模里会实打实地改变相位条件。焦点前后相位不同，原因就在这里。

表 1 给出几组典型量级。所有数值都按上面的公式计算，保留三位有效数字；实际光束还要用 $M^2$ 修正，下一节先讲 $q$ 参数和透镜，再讲 $M^2$。

表 1：按 $z_R=\pi w_0^2/\lambda$、$\theta=\lambda/(\pi w_0)$ 计算的高斯光束典型参数

情形	波长 $\lambda$	束腰 $w_0$	瑞利长度 $z_R$	发散半角 $\theta$	$2z_R$
氦氖激光	633 nm	0.5 mm	1.24 m	0.403 mrad	2.48 m
光纤激光	1064 nm	1 mm	2.95 m	0.339 mrad	5.91 m
聚焦光束	633 nm	5 µm	124 µm	40.3 mrad	248 µm
聚焦光束	1064 nm	20 µm	1.18 mm	16.9 mrad	2.36 mm

把表 1 的第一行和第三行对比：波长相同，腰斑从 0.5 mm 缩小到 5 µm，缩小了 100 倍；发散角从 0.403 mrad 增大到 40.3 mrad，放大了 100 倍；瑞利长度从 1.24 m 缩短到 124 µm，缩短到原来的万分之一。这个“100 倍—100 倍—一万倍”的关系，就是 $w_0=\theta z_R$ 和 $z_R\propto w_0^2$ 的直接结果。

三、q 参数与 ABCD：把传播和透镜写成矩阵

上面几个量描述的是“某个 $z$ 处的光束”。如果光路里有一块透镜，焦点会移到哪里、光斑会变成多大？逐段做衍射积分很麻烦。复光束参数 $q$ 把 $w$ 和 $R$ 打包成一个复数，自由空间和薄透镜则写成 $2\times2$ 矩阵，整条光路就变成矩阵乘法和一次分式变换。

定义

$$ \frac{1}{q(z)}=\frac{1}{R(z)}-i\frac{\lambda}{\pi w^2(z)}. $$

若束腰在 $z=0$，则 $q(z)=z+iz_R$：实部是离开束腰的距离，虚部是瑞利长度。束腰处 $R\to\infty$，$q=iz_R$ 是纯虚数。光经过一个由矩阵

$$ M=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix} $$

描述的光学系统后，$q$ 按 ABCD 定律变换：

$$ q_2=\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D}. $$

自由空间段 $d$ 和薄透镜 $f$ 的矩阵分别是

$$ M_{\mathrm{free}}(d)=\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix}, \qquad M_{\mathrm{lens}}(f)=\begin{pmatrix}1&0\\-1/f&1\end{pmatrix}. $$

多个元件串起来时，把后经过的矩阵放在左边相乘。比如“先过透镜、再走距离 $d$”的整体矩阵是 $M_{\mathrm{free}}(d)M_{\mathrm{lens}}(f)$。矩阵只描述近轴光线和近轴波前，遇到硬边光阑、强截断或大角度偏折时要另做衍射计算。

看一个最常用的例子：入射束腰正好在透镜上，腰斑 $w_{\mathrm{in}}$，瑞利长度 $z_R=\pi w_{\mathrm{in}}^2/\lambda$，所以 $q_1=iz_R$。经过薄透镜后

$$ q_2=\frac{q_1}{1-q_1/f} =\frac{iz_R}{1-iz_R/f} =\frac{-z_R^2/f}{1+(z_R/f)^2} +i\frac{z_R}{1+(z_R/f)^2}. $$

把 $q_2$ 写成 $z_2+iz_R'$，读出射束腰的位置和新的瑞利长度：

$$ z_0'=-z_2=\frac{f}{1+(f/z_R)^2}, \qquad z_R'=\frac{z_R}{1+(z_R/f)^2}. $$

出射腰斑为

$$ w_0'=\sqrt{\frac{\lambda z_R'}{\pi}} =\frac{w_{\mathrm{in}}}{\sqrt{1+(z_R/f)^2}}. $$

当 $z_R\gg f$ 时，$z_0'\approx f$，且

$$ w_0'\approx\frac{w_{\mathrm{in}}f}{z_R}=\frac{\lambda f}{\pi w_{\mathrm{in}}}. $$

这就是常说的“聚焦光斑与 $f$ 成正比、与入射束宽成反比”。入射光越粗，焦点越小；焦距越短，焦点越小。但它有一个容易被忽略的前提：入射束腰在透镜上，且 $z_R\gg f$。如果入射光束在透镜处还没有到腰，或者 $z_R$ 和 $f$ 同量级，就要用上面的精确式，不能直接套近似。

图 4 画出一般情形：入射束腰 $w_0$ 距透镜 $z_0$，出射束腰 $w_0'$ 距透镜 $z_0'$；上面的算例取 $z_0=0$，即入射束腰正好在透镜上。

图 4：薄透镜对高斯光束的变换。入射束腰 $w_0$ 距透镜 $z_0$，出射束腰 $w_0'$ 距透镜 $z_0'$；$q$ 参数经透镜矩阵变换后给出这两个量。

表 2 用 $\lambda=1064$ nm、$w_{\mathrm{in}}=1$ mm 算了几组焦距。此时入射瑞利长度 $z_R=2.95$ m，远大于表中的 $f$，所以近似式和精确式只差不到千分之一。

表 2：薄透镜聚焦的束腰、瑞利长度与焦点位置（$\lambda=1064$ nm，$w_{\mathrm{in}}=1$ mm，入射束腰在透镜处）

焦距 $f$	出射腰斑 $w_0'$	出射瑞利长度 $z_R'$	焦深 $2z_R'$	焦点位置 $z_0'$
50 mm	16.93 µm	0.846 mm	1.69 mm	49.99 mm
100 mm	33.85 µm	3.383 mm	6.77 mm	99.89 mm
200 mm	67.58 µm	13.49 mm	26.97 mm	199.09 mm

表 2 里焦距翻倍，腰斑也翻倍，焦深变成四倍。想把光聚得更细，就要缩短焦距或扩大入射束宽；代价是焦深变短、透镜相对孔径变大、像差和装调误差更敏感。这个取舍在第五节还会以另一种形式出现。

四、M² 与 ISO 11146：真实光束的“等效高斯”

前面的公式默认光束是理想的 TEM00 模。真实激光器可能同时起振几个横模，也可能有像差、光阑截断或增益分布不均匀，结果是对同样的腰斑，它发散得比理想高斯更快。工程上用光束质量因子 $M^2$ 描述这种差距：

$$ M^2=\frac{\pi w_0\theta}{\lambda}, $$

其中 $w_0$ 和 $\theta$ 是实际光束的腰斑半径与远场发散半角。理想高斯光束 $M^2=1$；实际激光光束通常 $M^2>1$，$M^2=1$ 是理想基模的极限。反过来写，

$$ \theta=\frac{M^2\lambda}{\pi w_0}, \qquad z_{R,\mathrm{eff}}=\frac{\pi w_0^2}{M^2\lambda}=\frac{z_R}{M^2}. $$

也就是说，$M^2$ 越大，同样腰斑下的发散角越大，等效瑞利长度越短。若用焦距 $f$、入射束宽 $w_{\mathrm{in}}$ 的透镜聚焦，焦点腰斑约放大为

$$ w_0'\approx\frac{M^2\lambda f}{\pi w_{\mathrm{in}}}, $$

而焦深按新的腰斑和 $M^2$ 计算。这一点在加工和耦合里很实际：厂商标称的 $M^2$ 不是“质量评分”，它直接进入光斑和焦深的估算。

$M^2$ 和横模阶数还有一个干净的关系。对纯厄米-高斯模，按第二矩束宽定义，

$$ M^2=m+n+1. $$

TEM00 的 $M^2=1$；TEM01 或 TEM10 的 $M^2=2$；TEM11 的 $M^2=3$。这解释了为什么单横模工作受重视：不是基模看起来更漂亮，而是同样的腰斑下它发散最小、聚焦后峰值强度最高。混合模的 $M^2$ 不是简单把各阶模的 $m+n+1$ 相加，而是由各模的功率权重和束宽定义共同决定。

真实光束的 $M^2$ 怎么测？ISO 11146 的思路是：不直接相信某一个位置的光斑，而是沿传播方向测一串束宽，拟合出一条双曲线，再从腰斑和渐近线斜率提取 $M^2$。束宽用强度分布的第二矩定义。对 $x$ 方向，

$$ d_{\sigma x}=4\sigma_x, \qquad \sigma_x^2=\frac{\int (x-\bar x)^2I(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y}{\int I(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y}, $$

其中 $\bar x$ 是强度质心。对高斯光束，$d_\sigma=2w$，恰好等于 $1/e^2$ 直径；对非高斯光束，第二矩束宽和 $1/e^2$ 束宽可能明显不同，所以比较不同仪器或不同厂商的数据时，必须先确认束宽定义。

沿 $z$ 轴测得一串 $d_\sigma(z)$ 后，用双曲线拟合：

$$ d_\sigma^2(z)=d_{\sigma0}^2+\Theta^2(z-z_0)^2, $$

其中 $d_{\sigma0}$ 是束腰处的第二矩直径，$\Theta$ 是全发散角（不是半角）。拟合出这两个量后，

$$ M^2=\frac{\pi d_{\sigma0}\Theta}{4\lambda}. $$

对理想高斯光束，$d_{\sigma0}=2w_0$、$\Theta=2\theta$，代回上式正好得到 $M^2=1$，可以和第二节的 $M^2=\pi w_0\theta/\lambda$ 互相校验。

测量上有几个容易出错的地方。ISO 11146 要求至少取 10 个位置，并且要覆盖束腰附近和远场，也就是瑞利长度内外都要有数据；如果只在束腰一侧取样，拟合出的双曲线会被噪声带偏。第二矩对背景光、探测器截断和相机非线性很敏感：光斑被孔径切掉一点，外围的低强度区被丢掉，$d_\sigma$ 就会偏小；背景没扣干净，$d_\sigma$ 又会偏大。脉冲激光还要让快门或相机与脉冲同步，否则测到的是平均后的光斑。厂商规格书里的 $M^2$ 如果没有注明束宽定义和拟合方法，只能当作参考。

表 3：相同腰斑与波长下，$M^2$ 对发散角、等效瑞利长度和聚焦光斑的影响（$w_0=1$ mm，$\lambda=1064$ nm，$f=100$ mm，$w_{\mathrm{in}}=1$ mm；按公式计算，不代表特定型号）

$M^2$	远场发散半角 $\theta$	等效瑞利长度 $z_{R,\mathrm{eff}}$	$2z_{R,\mathrm{eff}}$	聚焦腰斑 $w_0'$
1.0	0.339 mrad	2.95 m	5.91 m	33.9 µm
1.3	0.440 mrad	2.27 m	4.54 m	44.0 µm
1.5	0.508 mrad	1.97 m	3.94 m	50.8 µm
2.0	0.677 mrad	1.48 m	2.95 m	67.7 µm

表 3 说明，$M^2=1.5$ 时同样腰斑的远场发散角增大约 50%，聚焦腰斑也增大约 50%；如果反过来要求聚焦到同样小的斑，等效瑞利长度会缩短为原来的 $1/M^2$，焦深更短。下一节把这些参数放到具体的聚焦、耦合、准直和加工场景里。

五、参数落到工程：聚焦、耦合、准直与加工窗口

前面把参数定义清楚了；这一节只看一件事：给定一束光和一个任务，哪几个数决定结果。下面所有例子都用前面的公式，数值可以用 verify_numbers.py 复查。

聚焦：光斑与焦深的取舍

对入射束腰在透镜上、且 $z_R\gg f$ 的高斯光束，聚焦腰斑和焦深分别是

$$ w_0'\approx\frac{\lambda f}{\pi w_{\mathrm{in}}}, \qquad 2z_R'=\frac{2\pi w_0'^2}{\lambda}. $$

表 2 已经给出 $\lambda=1064$ nm、$w_{\mathrm{in}}=1$ mm 时三组焦距的结果：$f=50$ mm 对应 16.9 µm 的腰斑和 1.69 mm 的焦深，$f=100$ mm 对应 33.9 µm 和 6.77 mm，$f=200$ mm 对应 67.6 µm 和 27.0 mm。焦距翻倍，腰斑翻倍，焦深变成四倍。想把光聚得更细，就要缩短焦距或扩大入射束宽；代价是焦深更短、透镜相对孔径更大，装调和像差也更难。

如果光束有 $M^2>1$，要区分两种问法。第一种是“透镜和入射光束不变，$M^2$ 会怎样”：聚焦腰斑变成理想情况的 $M^2$ 倍，焦深也变大，但在功率不变时峰值强度按 $1/M^4$ 下降。第二种是“我要求焦斑仍然是 20 µm，$M^2$ 会怎样”：焦深会缩短为理想情况的 $1/M^2$。表 4 是第二种问法的结果；很多激光加工和光纤耦合的指标属于这一种，不要把第一种的“焦深变大”直接套到第二种问法上。

表 4：同一聚焦腰斑下，$M^2$ 对焦深的影响（$\lambda=1064$ nm；按 $2z_R'=2\pi w_0'^2/(M^2\lambda)$ 计算）

聚焦腰斑 $w_0'$	焦深 $2z_R'$，$M^2=1$	焦深 $2z_R'$，$M^2=1.5$
20 µm	2.36 mm	1.57 mm
34 µm	6.83 mm	4.55 mm
50 µm	14.8 mm	9.84 mm

单模光纤：腰斑匹配与对准容差

单模光纤的导模在端面附近可以近似成高斯模，模场半径记作 $w_f$；厂商常给模场直径（MFD），$w_f=\mathrm{MFD}/2$。把入射高斯模和光纤模场代入重叠积分，在两者同轴、同一束腰平面、无倾斜且偏振一致的条件下，耦合效率为

$$ \eta=\left(\frac{2w_1w_2}{w_1^2+w_2^2}\right)^2, $$

其中 $w_1$ 是入射到光纤端面的光束腰斑，$w_2=w_f$。当 $w_1=w_2$ 时 $\eta=1$；偏离越大，效率下降。若有横向偏移 $d$，再乘一个因子：

$$ \eta=\left(\frac{2w_1w_2}{w_1^2+w_2^2}\right)^2 \exp\left[-\frac{2d^2}{w_1^2+w_2^2}\right]. $$

取 $\lambda=1064$ nm、$w_{\mathrm{in}}=1$ mm、$f=10$ mm，得到 $w_0'=3.387$ µm。设 $w_f=3.1$ µm（模场直径约 6.2 µm，具体以光纤规格书为准），腰斑比 $1.09$，$\eta=0.992$，损耗约 0.035 dB。若聚焦腰斑变成 5 µm，$\eta$ 降到 0.802，损耗约 0.96 dB；若聚焦腰斑只有 1.69 µm，$\eta$ 约 0.707，损耗约 1.5 dB。表 5 列出这几个点。

表 5：腰斑比对单模光纤耦合效率的影响（$w_f=3.1$ µm；按重叠积分计算，未计偏移、倾斜和波前误差）

聚焦腰斑 $w_0'$	腰斑比 $w_0'/w_f$	耦合效率 $\eta$	损耗
3.10 µm	1.00	1.000	0 dB
3.39 µm	1.09	0.992	0.035 dB
5.00 µm	1.61	0.802	0.96 dB
1.69 µm	0.55	0.707	1.50 dB

表 5 的曲线在顶部比较平：腰斑比在 1 附近 ±10% 时，效率仍高于 99%。实际装调中更敏感的是横向偏移、倾斜和波前曲率。光纤端面要放在束腰处，让入射波前接近平面；如果端面离焦，波前弯曲，重叠积分下降。对匹配腰斑 $w_1=w_2=w$，横向偏移 $d=w$ 时 $\eta=e^{-1}\approx0.368$，也就是 4.3 dB 的损耗。这就是为什么单模光纤耦合的调整架通常要做到亚微米级，而不是“光斑看起来重合”就行。波导的情况同理，只是模场不一定高斯，直接用重叠积分更稳妥。

准直与加工窗口

准直距离用 $2z_R$ 估计。$\lambda=1064$ nm 时，$w_0=1$ mm 对应 $2z_R=5.91$ m，$w_0=5$ mm 对应 148 m，$w_0=10$ mm 对应 590 m。若要求 100 m 内束宽不明显增大，取 $z_R=50$ m，由 $w_0=\sqrt{\lambda z_R/\pi}$ 得 $w_0\approx4.1$ mm，也就是束径约 8.2 mm。扩束能把准直距离按 $w_0^2$ 放大，但需要更大的镜片口径，指向稳定性和装调也更难；不是“扩得越大越好”。

加工窗口可以看成“焦斑”和“焦深”两个约束的交集。薄片精细加工希望焦斑小，但焦深也随之变短，材料厚度或离焦必须落在焦深以内；中厚材料希望焦深覆盖厚度，往往要接受更大的焦斑和更低的峰值强度。表 6 把本文用到的几组参数放在一起，说明每个任务先看哪个量。

表 6：参数在不同任务中的落点（数值为本文公式估算，用于说明取舍，不是工艺规范）

任务	先看的参数	本文数值例子	主要取舍
聚焦到小斑	$w_0'\approx\lambda f/(\pi w_{\mathrm{in}})$	$f=50$ mm，$w_{\mathrm{in}}=1$ mm → 16.9 µm	焦距越短、入射越粗，斑越小；焦深越短
保持焦深	$2z_R'=2\pi w_0'^2/\lambda$	16.9 µm → 1.69 mm；33.9 µm → 6.77 mm	斑缩小一半，焦深变成四分之一
进单模光纤	腰斑比 $w_0'/w_f$	3.39 µm / 3.1 µm → $\eta=0.992$	腰斑太小时效率也下降；对准到亚微米
长距离准直	$2z_R=2\pi w_0^2/\lambda$	$w_0=10$ mm → 590 m	扩束提高 $z_R$，但口径和指向更难
加工窗口	$w_0'$ 与 $2z_R'$ 同时看	20 µm 斑 → 2.36 mm 焦深	材料厚度要落在焦深内，峰值强度要够

图 5：参数落点的两条取舍曲线。(a) 两高斯模同轴、同一腰平面时的耦合效率 $\eta=[2r/(1+r^2)]^2$，$r=w_0'/w_f$；红点标出 $r=1$、1.09 和 2.0 的位置。(b) $\lambda=1064$ nm、$w_{\mathrm{in}}=1$ mm 时，聚焦腰斑 $w_0'$ 与焦深 $2z_R'$ 随焦距 $f$ 的变化（按 ABCD 精确式计算）；虚线标出 $f=100$ mm 处的 33.9 µm 与 6.77 mm。

图 5(a) 的顶部很平，说明腰斑匹配不需要追求“精确到小数点后两位”；真正难的是偏移和波前。图 5(b) 的两条曲线同向增大，但焦深按焦距平方增长：把焦距从 100 mm 缩到 50 mm，腰斑减半，焦深只剩四分之一。加工窗口就是在这个平方关系里找一个能覆盖材料厚度、又能把峰值强度做够的位置。

六、适用边界与容易混淆的量

本文的公式都建立在傍轴、标量、单色和理想高斯模的假设上。常见激光光路的发散角只有毫弧度量级，$w_0$ 也远大于波长，这些条件成立得很好；但当 $w_0$ 接近或小于波长、或聚焦系统的数值孔径超过约 0.5 时，傍轴标量近似明显失效，需要矢量衍射或严格的麦克斯韦解法。此时本文的公式只能给出量级，不能用来预测焦斑的精确形状。

$M^2$ 也有自己的适用条件。它是用第二矩束宽和双曲线拟合定义的，适合描述“能用一条双曲线近似”的光束；如果光束被硬边光阑严重截断、由几个分离的光斑组成，或者像散很复杂，单一个 $M^2$ 不能概括它的聚焦行为。ISO 11146-1 处理旋转对称和简单像散的光束，更一般的像散要用 ISO 11146-2。厂商报 $M^2$ 时，最好同时问清束宽定义、拟合位置和是否扣背景。

束宽定义是另一个容易混淆的地方。对同一个高斯光束，$1/e^2$ 半径 $w$、FWHM 直径 $1.177w$、第二矩直径 $d_\sigma=2w$ 描述的是同一个分布，但数值不同；对非高斯光束，它们可能差得更多。看到“光斑直径 50 µm”时，先确认是 $1/e^2$、FWHM 还是 D4σ，再和本文的公式比较。同理，发散角有半角和全角之分：本文的 $\theta$ 是半角，ISO 的 $\Theta$ 是全角，$\Theta=2\theta$；$M^2$ 公式里的分母因此是 $4\lambda$ 而不是 $2\lambda$。

“准直”也不是一个固定的终点。$2z_R$ 是常用的工程尺度，不是硬边界；如果实际传播距离远小于 $z_R$，光束看起来就是平行的，超过 $2z_R$ 后束宽仍会连续增大。$q$ 参数的符号取决于时间约定，本文取 $e^{-i\omega t}$；换一种约定时 $q$ 的虚部符号会变，但 $w$、$R$、$|q|$ 这些可测量不会变。ABCD 矩阵只适用于近轴元件，遇到光阑、强截断、大角度偏折或高数值孔径聚焦时，不能用一个 $2\times2$ 矩阵概括全部衍射效应。

实际估算的顺序可以反过来：先确认束宽定义和 $M^2$ 口径，再用 $w_0$、$z_R$、$\theta$ 三个量算一遍；如果三个数互相矛盾，先检查是不是把半径/直径、半角/全角或不同束宽定义混在了一起。激光聚焦估算出现偏差时，先检查这些定义，而不是怀疑公式本身。

参考资料

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