粒子数反转与增益系数：从玻尔兹曼分布到增益饱和
一句话结论：热平衡下上能级粒子数远低于下能级，只有泵浦把分布推到反转，增益才为正，并在强光下按均匀或非均匀规律饱和。
一、热平衡的分布为什么给不出增益
把一支氦氖激光管断电，过一会儿管内仍然是同样的氖原子，却不再放大光。缺少的不是发光物质，而是上能级的粒子数。热平衡时，原子在各能级上的分布由玻尔兹曼分布给出：
$$ \frac{N_2}{N_1}=\frac{g_2}{g_1}\exp\left(-\frac{h\nu_0}{kT}\right), $$
其中 $g_1$、$g_2$ 是能级简并度，$\nu_0=(E_2-E_1)/h$ 是跃迁频率。指数里的 $h\nu_0/kT$ 决定了热激发能把多少原子送到上能级。对 632.8 nm 的红光，光子能量约 1.96 eV，而 300 K 时 $kT$ 只有 0.0259 eV，两者相差约 76 倍；即使把放电管加热到 400 K，比值仍有约 57。
表 1：两能级热平衡粒子数比。取 $g_2=g_1$，$h\nu_0/kT$ 与 $N_2/N_1$ 均由公式直接计算。
| 跃迁 | 光子能量 | $h\nu_0/kT$（300 K） | $N_2/N_1$（300 K） | $h\nu_0/kT$（400 K） | $N_2/N_1$（400 K） |
|---|---|---|---|---|---|
| 632.8 nm | 1.96 eV | 75.8 | $1.2\times10^{-33}$ | 56.8 | $2.1\times10^{-25}$ |
| 1064 nm | 1.17 eV | 45.1 | $2.7\times10^{-20}$ | 33.8 | $1.9\times10^{-15}$ |
可见光与近红外光子的能量比室温 $kT$ 高出几十倍，热分布把几乎全部原子留在下能级。要得到净增益，必须让上能级的有效粒子数超过下能级，也就是
$$ \Delta N=N_2-\frac{g_2}{g_1}N_1>0. $$
非简并时它退化为 $N_2>N_1$。这个不等式说的是“每个子能级上的粒子数”，不是“上能级总粒子数超过下能级总粒子数”；在固体激光的 Stark 多重态里，后者往往并不成立，后面会用有效截面处理。
反转是非平衡态。若把 $N_2/N_1>g_2/g_1$ 形式地代入玻尔兹曼因子，解出的 $T$ 为负值，因此文献里常说反转对应“负温度”。温度只对热平衡态有定义，负温度不是可以长期维持的热浴，只是描述反转程度的一种记账方式。真正的反转靠泵浦持续把原子从下能级搬到上能级，同时让上能级存得住、下能级排得快。
二、泵浦把分布推离平衡：三能级与四能级的判据
先看最简单的三能级模型：$E_1$ 是基态，$E_2$ 是亚稳态，$E_3$ 是泵浦带。泵浦把原子从 $E_1$ 送到 $E_3$，$E_3$ 很快无辐射地落到 $E_2$，激光发生在 $E_2\to E_1$。忽略信号光和 $E_3$ 上的少量粒子，上能级的速率方程是
$$ \frac{dN_2}{dt}=R N_1-\frac{N_2}{\tau_2}, $$
其中 $R$ 是每个原子单位时间的泵浦速率，$\tau_2$ 是上能级寿命。令导数为零，得到
$$ \frac{N_2}{N_1}=R\tau_2. $$
反转要求 $N_2>N_1$，也就是
$$ R\tau_2>1. $$
在 $N_1+N_2\approx N$ 的近似下，$N_2/N=R\tau_2/(1+R\tau_2)$；阈值 $R\tau_2=1$ 对应 $N_2=N/2$，即至少一半原子在上能级。泵浦再强，三能级的反转也要拿基态粒子数去换，这就是它阈值高的原因。
四能级把激光下能级 $E_1$ 挪到基态之上，并让它快速排空。设 $E_1$ 的寿命为 $\tau_1$，在弱信号下 $N_1\approx R\tau_1$、$N_2\approx R\tau_2$，于是
$$ \frac{N_2}{N_1}\approx\frac{\tau_2}{\tau_1}. $$
只要上能级寿命远大于下能级寿命，例如 $\tau_2=1$ ms、$\tau_1=1$ ns，比值就有 $10^6$，很小的泵浦就能让 $N_2>N_1$。四能级的阈值不再由“一半粒子”决定，而由增益与腔损耗的比较决定；这属于阈值与输出特性的问题，这里只留下判据。
图 1：三能级与四能级的泵浦路径和相对粒子数。(a) 三能级的激光下能级是基态，$N_2>N_1$ 意味着把一半以上原子抽到 $E_2$；(b) 四能级的下能级 $E_1$ 被快速排空，$N_2$ 只需超过很小的 $N_1$，基态 $N_0$ 仍可保持很高的粒子数。条形长度为同一总粒子数下的示意值，不是具体介质的实测数据。
图 1 的条形长度把两个面板的总粒子数都归一化为 1。三能级取 $N_1=0.44$、$N_2=0.54$、$N_3=0.02$，反转刚刚过线，代价是基态只剩不到一半；四能级取 $N_0=0.90$、$N_1=0.02$、$N_2=0.07$、$N_3=0.01$，上能级只占 7%，却已经超过激光下能级的 2%。这组数字只用于说明门槛位置，不代表红宝石或 Nd:YAG 的实际粒子数。
三能级的 $R\tau_2>1$ 是必要条件，不是完整阈值：泵浦带 $E_3$ 的寿命、泵浦吸收的饱和、以及激光下能级是否真的近似为空，都会改变实际所需泵浦。准三能级介质（例如 Yb:YAG）的下能级在室温就有热占据，反转判据还要乘上玻尔兹曼因子，不能直接套用 $N_2>N_1$ 的字面形式。
三、增益系数：从反转密度到每厘米增益
有了反转，下一步是把“多少个反转粒子”换成“每走一米光强放大多少”。对一条中心频率为 $\nu_0$ 的跃迁，受激辐射使光子增加，吸收使光子减少，局部增益系数写成
$$ g(\nu)=\sigma_{\mathrm{em}}(\nu)N_2-\sigma_{\mathrm{abs}}(\nu)N_1. $$
由爱因斯坦关系 $g_1B_{12}=g_2B_{21}$ 可得 $\sigma_{\mathrm{abs}}/\sigma_{\mathrm{em}}=g_2/g_1$，于是
$$ g(\nu)=\sigma_{\mathrm{em}}(\nu)\left(N_2-\frac{g_2}{g_1}N_1\right)=\sigma_{\mathrm{em}}(\nu)\Delta N. $$
四能级介质的下能级近似为空，$N_1\approx0$，增益简化为 $g\approx\sigma_{\mathrm{em}}N_2$；准三能级必须保留吸收项，否则会高估增益。截面本身可由自发辐射速率与线型得到：
$$ \sigma_{\mathrm{em}}(\nu)=\frac{A_{21}\lambda_0^2}{8\pi n^2}\phi(\nu), $$
其中 $\lambda_0$ 是真空波长，$n$ 是介质折射率，$\phi(\nu)$ 是归一化线型（$\int\phi(\nu)\,d\nu=1$）。对气体 $n\approx1$；对固体，折射率会进入 $\lambda^2/n^2$ 因子。这个式子说明峰值截面与线宽成反比：线越窄，同样多的反转粒子能提供的峰值增益越高。
光沿介质传播时，小信号下强度按 $I(z)=I(0)e^{gz}$ 增长，单通增益为 $G=e^{gL}$，$gL$ 是无量纲的增益长度。以 632.8 nm 的氦氖跃迁作一组量级假设：$A_{21}=1.0\times10^{7}\ \mathrm{s^{-1}}$、$\tau=100$ ns、多普勒宽度 $\Delta\nu_{\mathrm{D}}=1.5$ GHz，则峰值截面约 $1.0\times10^{-16}\ \mathrm{m^2}$。若小信号增益为 $g=0.1\ \mathrm{m^{-1}}$（0.1%/cm），0.3 m 长的增益介质给出 $gL=0.03$，单通只放大 3%；要把 $g$ 提高到 $1\ \mathrm{m^{-1}}$（1%/cm），按 $\Delta N=g/\sigma$ 需要约 $1.0\times10^{16}\ \mathrm{m^{-3}}$，也就是 $1.0\times10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}$ 的反转密度。
同样的目标增益，换一种截面就要换一个反转密度。表 2 用三组量级假设把 $\Delta N$、$I_{\mathrm{sat}}$、$F_{\mathrm{sat}}$ 一起列出，说明“需要多少反转”不是一个固定数字，而是由 $\sigma$ 和 $\tau$ 共同决定。
表 2：达到 $g=1\ \mathrm{m^{-1}}$ 所需的反转密度，以及对应的饱和光强与饱和通量。三组参数是量级假设，不对应具体器件；前两行取 632.8 nm，第三行取 1064 nm。
| 情形 | $\sigma$（m²） | $\tau$（s） | $\Delta N$（m⁻³） | $I_{\mathrm{sat}}$（W/m²） | $F_{\mathrm{sat}}$（J/m²） |
|---|---|---|---|---|---|
| 气体类 | $1.0\times10^{-16}$ | $1.0\times10^{-7}$ | $1.0\times10^{16}$ | $3.1\times10^{4}$ | $3.1\times10^{-3}$ |
| 中间 | $1.0\times10^{-20}$ | $1.0\times10^{-4}$ | $1.0\times10^{20}$ | $1.9\times10^{5}$ | $1.9\times10^{1}$ |
| 固体类 | $1.0\times10^{-23}$ | $1.0\times10^{-4}$ | $1.0\times10^{23}$ | $1.9\times10^{8}$ | $1.9\times10^{4}$ |
表 2 的第四列到第六列按 $\Delta N=1/\sigma$、$I_{\mathrm{sat}}=h\nu/(\sigma\tau)$、$F_{\mathrm{sat}}=h\nu/\sigma$ 计算。气体类的截面大、寿命短，$10^{16}\ \mathrm{m^{-3}}$ 的反转就能给出 1%/cm 的增益，但饱和光强只有约 3 W/cm²；固体类的截面小、寿命长，要 $10^{23}\ \mathrm{m^{-3}}$ 的反转才有同样增益，代价是饱和光强升到约 19 kW/cm²、饱和通量升到约 1.9 J/cm²。前者容易饱和，后者能存住更多能量，这是增益介质选型时的一对基本取舍，不存在哪一类“更好”。
这里写的是局部增益系数，前提是单一跃迁、忽略激发态吸收和增益导引。光纤放大器要把 $g$ 乘以模场与掺杂区的重叠因子；半导体激光器常用模态增益，增益还与载流子密度和温度强相关；准三能级则要保留 $\sigma_{\mathrm{abs}}N_1$。这些修正不改变“截面乘反转密度”的结构，但会改变数值。
四、增益饱和：光强、饱和光强与饱和能量
增益不会对任意强的光一直保持不变。受激辐射把上能级粒子搬下来，泵浦补不上时，$\Delta N$ 下降，增益随之下降。连续光或长脉冲的稳态解可以写成
$$ g(I)=\frac{g_0}{1+I/I_{\mathrm{sat}}}, \qquad I_{\mathrm{sat}}=\frac{h\nu}{(\sigma_{\mathrm{em}}+\sigma_{\mathrm{abs}})\tau}. $$
$g_0$ 是小信号增益。按定义，$I=I_{\mathrm{sat}}$ 时增益降到 $g_0/2$。四能级的 $\sigma_{\mathrm{abs}}\approx0$，分母里只剩发射截面；准三能级的吸收项不能丢，否则会把饱和光强估高。三能级还要考虑下能级的寿命：激光下能级不是空的，恢复时间由上下能级的衰减共同决定，不能只代上能级寿命。用表 2 的气体类参数，$I_{\mathrm{sat}}\approx3.1\ \mathrm{W/cm^2}$；用固体类参数，$I_{\mathrm{sat}}\approx19\ \mathrm{kW/cm^2}$。前者一束聚焦的连续光就可能把它推到饱和，后者需要明显更高的功率密度。
图 2：两类饱和的归一化曲线。(a) 连续光下，均匀加宽按 $1/(1+x)$ 下降，非均匀加宽按 $1/\sqrt{1+x}$ 下降；$x=I/I_{\mathrm{sat}}$，$x=10$ 时两者分别为 0.091 与 0.302。(b) 短脉冲下，脉冲后的剩余增益按 $e^{-x}$ 下降，脉冲经历的平均增益为 $(1-e^{-x})/x$；$x=E_p/E_{\mathrm{sat}}$，$x=1$ 时分别为 0.368 与 0.632。
当脉宽远小于上能级寿命时，情况换了一个口径。脉冲期间泵浦和自发辐射都来不及补或撤，增益的下降由脉冲能量而不是瞬时功率决定：
$$ G_{\mathrm{after}}=G_{\mathrm{initial}}\,e^{-E_p/E_{\mathrm{sat}}}, \qquad E_{\mathrm{sat}}=F_{\mathrm{sat}}A, \qquad F_{\mathrm{sat}}=\frac{h\nu}{\sigma_{\mathrm{em}}+\sigma_{\mathrm{abs}}}. $$
$A$ 是有效模场面积。$E_p=E_{\mathrm{sat}}$ 时，脉冲后的增益只剩初值的 $e^{-1}\approx37\%$。脉冲自己经历的平均增益不是这个剩余值；在小增益近似下，
$$ g_p=g_0\frac{E_{\mathrm{sat}}}{E_p}\left(1-e^{-E_p/E_{\mathrm{sat}}}\right), $$
$E_p=E_{\mathrm{sat}}$ 时为 $0.632g_0$。图 2(b) 把这两条曲线画在一起：剩余增益从 1 开始单调下降，平均增益在 $E_p/E_{\mathrm{sat}}\to0$ 时趋于 1，在 $E_p=E_{\mathrm{sat}}$ 时降到 0.632。
这里有一个容易犯的错：把稳态式直接改写成 $g=g_0/(1+E_p/E_{\mathrm{sat}})$。稳态式描述的是“当前光强与泵浦达到平衡后的增益”，而短脉冲的饱和在脉冲期间累积，脉冲前后端的增益并不相同，必须用微分方程或 Frantz–Nodvik 方程处理。高增益时，Frantz–Nodvik 给出
$$ E_{\mathrm{out}}=E_{\mathrm{sat}}\ln\left[1+G_{\mathrm{initial}}\left(e^{E_{\mathrm{in}}/E_{\mathrm{sat}}}-1\right)\right], $$
其中 $G_{\mathrm{initial}}$ 是初始的小信号增益因子（无量纲），不是每米增益系数。它的前提是脉宽远小于上能级寿命、脉冲期间忽略泵浦与自发辐射，并且增益介质内部的 Stark 多重态始终热化。
用一组具体数字感受两个口径的差别：取 $A=1\ \mathrm{mm^2}=10^{-6}\ \mathrm{m^2}$，气体类的 $F_{\mathrm{sat}}\approx3.1\times10^{-3}\ \mathrm{J/m^2}$ 给出 $E_{\mathrm{sat}}\approx3.1\ \mathrm{nJ}$；固体类的 $F_{\mathrm{sat}}\approx1.9\times10^{4}\ \mathrm{J/m^2}$ 给出 $E_{\mathrm{sat}}\approx19\ \mathrm{mJ}$。同样大小的光斑，按这组量级假设，气体类介质在纳焦量级就开始饱和，固体类要到几十毫焦，这也是两类放大器在脉冲能量上分野的一个来源。
五、均匀与非均匀加宽：为什么一个分母是 1+x，另一个是 sqrt(1+x)
第四节的两个饱和式不是随便选的，它们对应两种不同的加宽机制。均匀加宽里，寿命、碰撞或晶格声子让每个原子的谱线一样宽、中心也一样；一束强光与其中一个原子作用，等于与所有原子以相同的相对强度作用。整条增益谱被等比例压低，形状不变，于是有 $g=g_0/(1+I/I_{\mathrm{sat}})$。
非均匀加宽里，不同原子的中心频率不同：气体中是热运动造成的多普勒频移，固体中是不同格位造成的局部场差异。一束窄带强光只与中心频率落在它附近的那群原子共振，先把这群原子的增益压下去，其他原子照常放大。对整个非均匀分布积分，在均匀宽度远小于非均匀宽度的极限下，得到
$$ g_{\mathrm{inh}}(\nu,I)\approx\frac{g_0(\nu)}{\sqrt{1+I/I_{\mathrm{sat}}}}. $$
分母从 $1+x$ 变成 $\sqrt{1+x}$，原因很直接：强光只“烧”掉总粒子数中比例约为 $\Delta\nu_{\mathrm{H}}/\Delta\nu_{\mathrm{D}}$ 的那一小群，整条线的下降被这部分比例摊薄；孔随光强展宽，积分结果落在平方根上。当 $\Delta\nu_{\mathrm{H}}$ 与 $\Delta\nu_{\mathrm{D}}$ 可比时，指数会在 1 与 $1/2$ 之间过渡，没有一个简单的普适式，使用时要看具体的线型与宽度比。
图 3：非均匀加宽谱线上的烧孔。虚线是未饱和的高斯型非均匀线型，实线是 $I=10I_{\mathrm{sat}}$ 时按洛伦兹均匀线型计算得到的饱和增益；线中心的增益降到 0.302，孔深约 0.70。图中取 $\Delta\nu_{\mathrm{D}}=1.5$ GHz、$\Delta\nu_{\mathrm{H}}=0.15$ GHz，仅用于显示孔形。
烧孔的深度和宽度可以直接读出。线中心处 $g/g_0=1/\sqrt{1+I/I_{\mathrm{sat}}}$，所以孔深为
$$ 1-\frac{1}{\sqrt{1+I/I_{\mathrm{sat}}}}. $$
孔宽约为 $\Delta\nu_{\mathrm{H}}\sqrt{1+I/I_{\mathrm{sat}}}$。取 $I=10I_{\mathrm{sat}}$，孔深为 $1-1/\sqrt{11}\approx0.70$，孔宽约为均匀宽度的 $\sqrt{11}\approx3.3$ 倍。这两个数字说明：强光并没有把整条非均匀线压平，而是在中心挖出一个窄而深的孔；孔外的增益几乎没变。
表 3：均匀加宽与非均匀加宽的饱和行为对照。
| 特征 | 均匀加宽 | 非均匀加宽 |
|---|---|---|
| 典型机制 | 寿命、碰撞、声子 | 多普勒频移、不同格位 |
| 单个原子的线型 | 相同 | 中心频率不同 |
| 强光下的谱形 | 整体等比例下降 | 在强光频率处烧孔 |
| 饱和律（$\Delta\nu_{\mathrm{H}}\ll\Delta\nu_{\mathrm{D}}$） | $g_0/(1+I/I_{\mathrm{sat}})$ | $g_0/\sqrt{1+I/I_{\mathrm{sat}}}$ |
| 模式行为 | 一个模式压低整条线，较易单模 | 不同模式可各烧各的孔，较易多模 |
表 3 的最后一行有可观测的后果。均匀加宽介质里，一个纵模起振后把整条增益线压下去，其他模式很难再达到阈值，因此容易单模运转。非均匀加宽介质里，不同纵模的频率不同，各自与不同的原子群作用，可以分别烧孔、同时振荡，模式竞争没有均匀介质那么强。
兰姆凹陷是同一机制的另一面。单模激光在腔内形成驻波，可以看成两束反向传播的行波。调谐到线中心时，两束行波与同一群速度为零的原子作用，烧的是同一个孔；离开中心时，两束行波分别与 $v=+$ 和 $v=-$ 的两群原子作用，各烧一个孔，总饱和反而弱一些。于是输出功率在谱线中心出现一个凹陷。这个凹陷后来成为兰姆凹陷稳频的参考：把激光频率锁在凹陷中心，不需要额外的参考腔。
“非均匀”还有另一个来源，容易与谱烧孔混淆。线性腔中的驻波强度在空间上周期性起伏，增益介质不同位置的粒子被饱和的程度不同，这叫空间烧孔。它造成的是空间上的增益消耗图案，不是频率上的孔；但在效果上也会让饱和变得不均匀，并让其他纵模找到未被消耗的增益。谱烧孔和空间烧孔要在讨论中分开，否则会把“孔宽”错当成腔的纵模间隔。
六、适用边界：速率方程没有覆盖什么
上面整套推导建立在速率方程上：只跟踪能级粒子数，不跟踪原子偶极矩的相位。它成立的前提是退相干足够快，原子极化能跟随光场瞬时调整；当光场强到让拉比振荡周期与脉冲宽度可比，或脉冲短到无法忽略相干瞬态时，必须改用密度矩阵或 Bloch 方程，速率方程给出的饱和曲线会偏离实际。
第二个边界是能级结构。二能级或简单的三、四能级模型把每条能级当成一条线；真实的固体激光介质里，激光上下能级各是一组 Stark 子能级，子能级之间靠声子在一皮秒量级内热化。热化足够快时，可以用有效截面把子能级分布折叠进去，$g=\sigma_{\mathrm{em}}\Delta N$ 仍然成立；但超短脉冲可能来不及让子能级重新热化，实际可提取的能量会低于按平衡分布算出的值。
第三个边界是横向分布。推导假设增益介质里的光强是均匀的；真实光束是高斯型，轴心先饱和，边缘后饱和，整条增益曲线的下降比 $1/(1+I/I_{\mathrm{sat}})$ 平缓一些。光纤放大器还要乘上模场与掺杂区的重叠因子，半导体激光器则有横向的载流子扩散和模态分布。把平面波的公式直接套到器件上，得到的饱和功率通常偏小。
还有几项不在简单模型里：泵浦吸收本身会饱和，激发态吸收会吃掉一部分增益，上转换和热透镜会改变泵浦与模场的重叠，增益导引会让光束自己形成波导。测量增益时也要小心：探针光测到的是净增益 $g-\alpha$，不是 $g$；自发辐射放大和散射会污染透过率，最好用多个长度、多个光强下的数据拟合，而不是单点代入。
把反转、截面、饱和这三个量分开测量，才能判断一台激光器的增益余量来自哪里，又会在多强的光下被耗尽。
参考资料
- Population Inversion. Rüdiger Paschotta, RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/population_inversion.html
- Gain. Rüdiger Paschotta, RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/gain.html
- Saturation Power. Rüdiger Paschotta, RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/saturation_power.html
- Gain Saturation. Rüdiger Paschotta, RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/gain_saturation.html
- Saturation Energy. Rüdiger Paschotta, RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/saturation_energy.html
- Homogeneous Saturation. Rüdiger Paschotta, RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/homogeneous_saturation.html
- Inhomogeneous Saturation. Rüdiger Paschotta, RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/inhomogeneous_saturation.html
- University Physics Volume 3, §8.6 Lasers. OpenStax, Rice University. https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/8-6-lasers
- Population inversion. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Population_inversion
- Boltzmann distribution. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_distribution
- Rate Equation Modeling. Rüdiger Paschotta, RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/rate_equation_modeling.html
- Transition Cross-sections. Rüdiger Paschotta, RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/transition_cross_sections.html
- Physics of Light and Optics. J. Peatross, M. Ware, Brigham Young University. https://optics.byu.edu/textbook