爱因斯坦 A/B 系数：吸收、自发辐射与受激辐射如何决定增益与线型
一句话结论：爱因斯坦 A 系数给出跃迁的总强度，线型函数把这强度分配到频率上，增益由截面与反转粒子数之积决定；均匀与非均匀加宽又决定了强光下是整条线一起饱和，还是只烧出一个孔。
一、同一批原子，为什么在激光器里才有增益
一支几毫瓦的氦氖激光管和一支同样发红光的氖灯，发光原子都是氖。灯管里的原子被放电激发后，过不了多久就自发落回低能级，发出的光频率、相位、方向都很散；激光管里的原子被持续泵浦到上能级，并且处在两面镜子之间，某个特定频率的光每穿过一次增益介质就强一点。前者是自发辐射的集合，后者是受激辐射被反复放大。
要定量回答“为什么能放大、放大的是哪个频率”，第一步是把原子与光的相互作用拆成几个过程，并写成同一组速率方程。这一步不需要量子场论，只需要能量守恒、光子数守恒和热平衡这三个条件。
二、三种过程与三个系数
设原子只有两个能级，$E_2>E_1$，跃迁频率 $\nu_0=(E_2-E_1)/h$。把辐射场写成谱能量密度 $\rho(\nu)$，单位是 $\mathrm{J\cdot m^{-3}\cdot Hz^{-1}}$，即单位体积、单位频率间隔内的能量。原子与场的相互作用可以分成三种：
- 吸收：原子从 $E_1$ 跃迁到 $E_2$，每个原子的速率是 $B_{12}\rho(\nu_0)$；
- 自发辐射：原子从 $E_2$ 落到 $E_1$，速率是 $A_{21}$，不需要外部光场；
- 受激辐射：入射光子在 $E_2$ 上诱导原子下落，每个原子的速率是 $B_{21}\rho(\nu_0)$。
三种过程的速率与光子数变化列在表 1。关键区别不在“有没有光子”，而在放出的光子与入射光子的关系：自发辐射的光子相位、方向、偏振都是随机的；受激辐射的光子与入射光子同频、同相、同偏振。
表 1：三种辐射过程。速率是对单个原子而言，$\rho$ 为谱能量密度。
| 过程 | 每个原子的速率 | 光子数变化 | 与入射光的关系 |
|---|---|---|---|
| 吸收 | $B_{12}\rho(\nu_0)$ | $-1$ | 消耗一个光子 |
| 自发辐射 | $A_{21}$ | $+1$ | 相位、方向、偏振随机 |
| 受激辐射 | $B_{21}\rho(\nu_0)$ | $+1$ | 与入射光子同频、同相、同偏振 |
图 1：二能级原子与辐射场的三种基本过程。吸收把原子从下能级送到上能级，自发辐射与受激辐射都把原子送回下能级，但后者放出的光子与入射光子相干。
把三种过程写进上下能级的粒子数方程：
$$ \frac{dN_2}{dt}=-A_{21}N_2-B_{21}\rho(\nu_0)N_2+B_{12}\rho(\nu_0)N_1, $$
$$ \frac{dN_1}{dt}=+A_{21}N_2+B_{21}\rho(\nu_0)N_2-B_{12}\rho(\nu_0)N_1. $$
两式相加为零，总粒子数守恒。$A_{21}$ 与 $B_{21}$ 都让 $N_2$ 减少，但前者与光强无关，后者正比于光强；$B_{12}$ 则让 $N_2$ 增加。激光要发生，必须让后两项中的受激辐射超过吸收，也就是让 $N_2$ 足够多。这个条件在下一节会变成一个不等式。
三、A 与 B 不是独立的三个数
热平衡时，原子在各能级上的分布由玻尔兹曼分布给出：
$$ \frac{N_2}{N_1}=\frac{g_2}{g_1}e^{-h\nu_0/kT}, $$
其中 $g_1$、$g_2$ 是能级简并度。同一温度下，辐射场是黑体谱，$\rho(\nu)$ 由普朗克公式给出。把这两个条件代入速率方程并令 $dN_2/dt=0$，可以解出平衡时的谱能量密度：
$$ \rho(\nu_0)=\frac{A_{21}/B_{21}}{(B_{12}g_1/B_{21}g_2)e^{h\nu_0/kT}-1}. $$
把它与普朗克公式
$$ \rho(\nu)=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu/kT}-1} $$
逐项比较，就得到两个关系：
$$ g_1B_{12}=g_2B_{21},\qquad \frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}. $$
对非简并能级 $g_1=g_2$，有 $B_{12}=B_{21}$：一个原子吸收光子和被光子诱导发射的概率相同，差别只在于上下能级各有多少原子。这也解释了为什么没有粒子数反转就没有净增益：吸收和受激辐射的截面一样大，谁占多数，光就被谁主导。
第二个关系更值得注意。$A_{21}/B_{21}$ 正比于 $\nu^3$，频率越高，同样的受激耦合强度对应的自发辐射越快。把 632.8 nm 代入，$8\pi h\nu^3/c^3=6.6\times10^{-14}\ \mathrm{J\cdot s\,m^{-3}}$；若 $A_{21}=1.0\times10^{7}\ \mathrm{s^{-1}}$，则 $B_{21}=1.5\times10^{20}\ \mathrm{m^3\,J^{-1}\,s^{-2}}$。原子在来得及被诱导放大之前，更容易先自发掉下来。这是极紫外与 X 射线激光难做的原因之一：泵浦必须非常快、增益长度必须非常长，才能在和自发辐射的竞争中占到便宜。
四、线型函数：总强度怎样摊到频率上
上面的速率方程把原子响应看成只在 $\nu_0$ 处的一个尖峰。实际谱线有宽度：上能级寿命有限，碰撞会打断相位，原子热运动会造成多普勒频移。把这些机制归并成一个归一化的线型函数 $g(\nu)$：
$$ \int_0^\infty g(\nu)\,d\nu=1, $$
$g(\nu)$ 的单位是 $\mathrm{Hz^{-1}}$。它描述的是“单位频率间隔内有多少跃迁强度”，而不是跃迁的总强度。
均匀加宽来自寿命和碰撞，每个原子的谱线都一样宽，线型是洛伦兹型：
$$ g_{\mathrm{H}}(\nu)=\frac{\Delta\nu_{\mathrm{H}}/2\pi}{(\nu-\nu_0)^2+(\Delta\nu_{\mathrm{H}}/2)^2}, $$
峰值在 $\nu_0$ 处，等于 $2/(\pi\Delta\nu_{\mathrm{H}})$。
非均匀加宽来自原子群体内部中心频率的差异，最典型的是热运动导致的多普勒频移。单个原子仍是窄线，整体是许多窄线的叠加，线型为高斯型：
$$ g_{\mathrm{D}}(\nu)=\frac{2}{\Delta\nu_{\mathrm{D}}}\sqrt{\frac{\ln 2}{\pi}}\exp\left[-4\ln2\frac{(\nu-\nu_0)^2}{\Delta\nu_{\mathrm{D}}^2}\right], $$
$$ \Delta\nu_{\mathrm{D}}=\nu_0\sqrt{\frac{8kT\ln2}{mc^2}}\approx7.16\times10^{-7}\nu_0\sqrt{\frac{T}{M}}. $$
$M$ 用 g/mol，$T$ 用 K，得到的是 Hz。对 632.8 nm、400 K 的氖（$M=20$），$\Delta\nu_{\mathrm{D}}\approx1.5\ \mathrm{GHz}$。高斯型的峰值是 $0.939/\Delta\nu_{\mathrm{D}}$。若让两种线型有相同的半高全宽，高斯峰值比洛伦兹高约 48%（$0.939/0.637=1.47$）；两者的主要差别在翼部：洛伦兹型按 $1/(\nu-\nu_0)^2$ 缓慢衰减，高斯型按指数衰减。图 2 是面积归一化后的对比。
图 2：面积归一化的高斯线型（红）与洛伦兹线型（蓝）。洛伦兹型的翼部下降更慢，远离中心处仍有不可忽略的响应。
线型的意义在于：它决定了同样的总跃迁强度会被摊到多宽的频率范围。线越窄，峰值截面越大；线越宽，峰值截面越小。后面会看到，增益和饱和都建立在“峰值截面”上。
五、从截面到增益：一个可复算的例子
把线型放回受激辐射速率，写成 $B_{21}g(\nu)\rho(\nu)$，并用 $I(\nu)=c\rho(\nu)$ 把谱能量密度换成谱强度。定义受激辐射截面 $\sigma(\nu)$，使
$$ \frac{\sigma(\nu)I(\nu)}{h\nu}=B_{21}g(\nu)\rho(\nu), $$
就得到
$$ \sigma(\nu)=\frac{h\nu}{c}B_{21}g(\nu)=\frac{A_{21}\lambda^2}{8\pi}g(\nu). $$
对频率积分，$\int\sigma\,d\nu=A_{21}\lambda^2/(8\pi)$，与线型无关。A 系数决定的是这个积分强度，线型只决定它怎么分配。
增益系数是截面与反转粒子数密度之积：
$$ g(\nu)=\sigma(\nu)\left(N_2-\frac{g_2}{g_1}N_1\right)=\sigma(\nu)\Delta N. $$
$\Delta N$ 的单位是 $\mathrm{m^{-3}}$，$g(\nu)$ 的单位是 $\mathrm{m^{-1}}$。非简并时 $\Delta N=N_2-N_1$；有简并时，下能级的粒子要按 $g_2/g_1$ 折算。信号光沿介质传播时，强度按 $I(z)=I(0)e^{g z}$ 增长，$g>0$ 才算放大。
下面用一组量级假设把公式走一遍。取 632.8 nm 的氦氖跃迁，设 $A_{21}=1.0\times10^{7}\ \mathrm{s^{-1}}$（对应约 100 ns 的上能级寿命），放电温度 400 K，氖的摩尔质量 20 g/mol，反转粒子数密度 $1\times10^{15}\ \mathrm{m^{-3}}$。结果列在表 2。
表 2：用一组量级假设代入公式得到的数值。$A_{21}$ 与 $\Delta N$ 不是对某支具体激光管的标定，只用于核对数量级。
| 量 | 取值或结果 |
|---|---|
| 波长 $\lambda$ | 632.8 nm |
| 频率 $\nu_0$ | $4.74\times10^{14}\ \mathrm{Hz}$ |
| 设自发辐射速率 $A_{21}$ | $1.0\times10^{7}\ \mathrm{s^{-1}}$ |
| 多普勒宽度 $\Delta\nu_{\mathrm{D}}$ | 1.5 GHz |
| 高斯峰值 $g(\nu_0)$ | $6.2\times10^{-10}\ \mathrm{s}$ |
| 积分强度 $A_{21}\lambda^2/(8\pi)$ | $1.6\times10^{-7}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}$ |
| 峰值截面 $\sigma_{\mathrm{peak}}$ | $9.9\times10^{-17}\ \mathrm{m^2}$（$9.9\times10^{-13}\ \mathrm{cm^2}$） |
| 反转粒子数 $\Delta N$ | $1\times10^{15}\ \mathrm{m^{-3}}$ |
| 小信号增益 $g$ | $0.099\ \mathrm{m^{-1}}$（$9.9\times10^{-4}\ \mathrm{cm^{-1}}$，约 0.1%/cm） |
| 饱和光强 $I_{\mathrm{sat}}=h\nu/(\sigma\tau)$ | $3.2\times10^{4}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$（3.2 W/cm²） |
量纲检查：$\sigma\Delta N$ 是 $\mathrm{m^2\cdot m^{-3}=m^{-1}}$，与增益系数一致；$h\nu/(\sigma\tau)$ 是 $\mathrm{J/(m^2\cdot s)=W/m^2}$，与光强一致。0.1%/cm 这个结果与氦氖激光小信号增益的常见量级相符，说明“积分强度 + 线型”的算法没有漏掉数量级因素。
表中的截面是峰值。若信号频率偏离线中心，$\sigma(\nu)$ 按线型下降，增益也随之下降。对 1.5 GHz 宽的高斯线，偏 1 GHz 时 $g(\nu)/g(\nu_0)=\exp(-4\ln2\times(1/1.5)^2)\approx0.29$。激光器要把增益做在腔的纵模上，首先得让这个纵模落在增益线宽之内。
六、增益饱和：均匀与非均匀加宽的分岔
上面的 $\sigma$ 是弱光下的。光强增大，受激辐射把上能级粒子搬下来，$\Delta N$ 下降。二能级速率方程的稳态解给出
$$ \Delta N(I)=\frac{\Delta N_0}{1+I/I_{\mathrm{sat}}},\qquad I_{\mathrm{sat}}=\frac{h\nu}{\sigma\tau}. $$
$\tau$ 是上能级寿命；严格地说，饱和光强还与下能级寿命和能级简并度有关。把 $\Delta N(I)$ 代回增益公式，均匀加宽介质里所有原子共用同一条线型，饱和对整个线型一视同仁：
$$ g_{\mathrm{H}}(\nu,I)=\frac{g_0(\nu)}{1+I/I_{\mathrm{sat}}}. $$
非均匀加宽不一样。单色光只与中心频率落在它附近的那群原子共振，先把这一小群的增益压下去，其他速度群不受影响。把各群的贡献积分，在均匀宽度远小于非均匀宽度的极限下，
$$ g_{\mathrm{inh}}(\nu,I)\approx\frac{g_0(\nu)}{\sqrt{1+I/I_{\mathrm{sat}}}}. $$
线中心被烧出一个孔，孔宽约为 $\Delta\nu_{\mathrm{H}}\sqrt{1+I/I_{\mathrm{sat}}}$，深度为 $1-1/\sqrt{1+I/I_{\mathrm{sat}}}$。取 $I=10I_{\mathrm{sat}}$，孔深约 0.70，孔宽约为均匀宽度的 3.3 倍。图 3 画出了两条饱和曲线和对应的烧孔。
图 3：(a) 均匀加宽（绿实线）与非均匀加宽（蓝虚线）的归一化增益随光强下降，非均匀加宽在同样的 $I/I_{\mathrm{sat}}$ 下掉得更慢；(b) 非均匀加宽线型在 $I=10I_{\mathrm{sat}}$ 的单色泵浦下烧出的谱孔，孔深约 0.70。
这两种饱和有可观测的后果。非均匀加宽的气体激光器里，不同纵模可以各烧各的孔，因而能同时振荡；均匀加宽的激光器里，一个模式一旦起振就把整条线的增益压下去，其他模式被抑制，容易单模运转。兰姆凹陷也是同一机制：单模激光调谐到线中心时，驻波的两个反向行波与同一群原子作用，烧的是同一个孔，输出功率出现凹陷；离开中心，两个行波各烧一个孔，总增益反而高一些。饱和吸收光谱正是利用这个凹陷把谱线中心定得很准。
七、A/B 之外：为什么还需要三能级或四能级
到这里，A/B 和线型回答了“一对能级能提供多少增益”，但还没回答“能不能有增益”。对真正的二能级系统，泵浦光和信号光是同一束光，稳态下
$$ \frac{N_2}{N_1}=\frac{B_{12}\rho}{B_{21}\rho+A_{21}}=\frac{W}{W+A_{21}}<1. $$
泵浦再强，$N_2$ 只能逼近 $N_1$，不会超过。原因很直接：同一束泵浦光既把原子往上抽，也把它往下诱导；非简并时两个截面相同。所以二能级系统可以做成放大器（需要外部信号和瞬态），但不能靠同一对能级做成连续运转的激光器。
三能级与四能级方案把泵浦和激光分到不同的能级对上，图 4 是三种方案的对比。
图 4：三种能级方案。(a) 二能级，泵浦与激光共用同一对能级，稳态无法反转；(b) 三能级，泵浦把基态粒子抽到 $E_3$，快速无辐射落到 $E_2$，激光 $E_2\to E_1$，下能级是基态；(c) 四能级，激光下能级 $E_1$ 不是基态并快速排空，阈值低。
表 3：二能级、三能级与四能级方案的对比。
| 方案 | 泵浦路径 | 激光下能级 | 反转条件 | 阈值 | 典型介质 |
|---|---|---|---|---|---|
| 二能级 | 同一对能级 | $E_1$ | 稳态不可能 | — | — |
| 三能级 | $E_1\to E_3$ | $E_1$（基态） | 抽走一半以上基态粒子 | 高 | 红宝石 |
| 四能级 | $E_0\to E_3$ | $E_1$（非基态，快速排空） | $N_2>N_1$ | 低 | Nd:YAG |
三能级的困难在于激光下能级就是基态。要让 $N_2>N_1$，必须把一半以上的原子从基态抽走，泵浦功率和散热都吃不消。四能级的下能级不是基态，寿命又短，粒子很快排空，$N_1$ 接近零，只要把少量原子送到 $E_2$ 就能反转。红宝石是三能级，Nd:YAG 是四能级，这个差别直接体现在阈值上。
还有几层条件不在 A/B 的框架里，却决定一台激光器能不能工作：
- 谱线重叠：泵浦频率要落在吸收线上，信号频率要落在增益线上；线型错开，增益再大也用不上。
- 空间重叠：泵浦光、信号光、腔模要在同一体积内重叠，重叠因子会直接乘在有效增益上。
- 损耗：增益要超过腔损耗才有净放大，阈值条件是 $g>\alpha$，不只是 $\Delta N>0$。
- 相干效应：速率方程假设原子与场之间没有相干振荡；强场下的拉比振荡、电磁诱导透明、超辐射需要密度矩阵描述，A/B 的唯象速率不够。
- 折射率与简并：介质折射率为 $n$ 时，$A/B$ 关系要乘 $n^3$；能级简并时用 $g_1B_{12}=g_2B_{21}$ 修正。
把这些放在一起，A/B 系数给出的是一对能级与辐射场耦合强弱的账本，线型把这个强度摊到频率上，$\Delta N$ 决定增益的符号和大小，饱和决定它在多强的光下失效。四者都清楚，才能判断一台激光器的增益够不够、线宽落在哪里、为什么有时只能单模运转。
参考资料
- University Physics Volume 3, §8.6 Lasers. OpenStax, Rice University. https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/8-6-lasers
- Einstein coefficients. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_coefficients
- J. Peatross, M. Ware. Physics of Light and Optics. Brigham Young University. https://optics.byu.edu/textbook
- Saturation power. RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/saturation_power.html
- Doppler broadening. RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/doppler_broadening.html
- Homogeneous broadening. RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/homogeneous_broadening.html
- Inhomogeneous broadening. RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/inhomogeneous_broadening.html
- File:Two level system.jpg. Wikimedia Commons. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Two_level_system.jpg
- File:Gauss and Lorentz lineshapes.svg. Wikimedia Commons. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gauss_and_Lorentz_lineshapes.svg