菲涅尔波带片原理：从半波带到相位型聚焦
一块没有曲面的”透镜”
用沥青和红粉抛过光学镜面的人会注意到一个现象：碗状的抛光模本身并不透光，却能在工件上留下接近球面的痕迹，这是古代透镜磨制的起点。由曲面把光线一点点折向焦点，是大多数人理解”聚焦”的方式。但还有另一条路：让光绕开一部分材料、从一圈圈同心环里穿过去，靠衍射本身把能量叠到一个点上。这样的器件是一块薄片，上面只有明暗相间的同心圆环，没有任何曲面，却能把平行光聚成一个亮点——它就是菲涅尔波带片（Fresnel zone plate，FZP）。
波带片的用处远不止光学实验。可见光波段它薄、平、可批量光刻；X 射线波段几乎所有材料折射率都接近 1，用折射透镜聚焦几乎不现实，波带片反而成了最主流的聚焦元件之一；到了太赫兹波段，环带尺度大得可以用机械加工的方式直接车出来。一个相同的衍射原理，在不同波长上落地成了完全不同的工艺。
先给结论：波带片不是靠折射，而是靠”挡掉一半、留下另一半”，让透过的次级波在轴上同相叠加。下面把它拆成几何、公式和两种实现方式三步来看。
半波带：让相邻环带的贡献先互相抵消
要理解波带片，先要想象一束平行光正对一块不透明的圆孔挡板。按照惠更斯–菲涅尔原理，波前上每一点都是一个次级波源，挡板后在轴上某一点 P 接收到的光场，是所有能穿过去的次级波叠加的结果。次级波从不同位置出发，到 P 的路程不同，到达时相位不同，叠加时可能加强，也可能抵消。
现在把圆孔按同心圆划分成一系列环带，规则很简单：让相邻两带的外边缘到 P 点的光程差恰好是半个波长 $\lambda/2$。这样相邻两带发出的次级波在 P 点的相位正好相差 $\pi$，振幅方向相反、几乎完全抵消。若再把这些环带的面积做得彼此差不多，它们贡献的振幅量级也相近，一正一反对消后几乎不留残余。
把这一层”先抵消”的性质利用起来，就得到两种相反的操作：
- 保留第 1、3、5… 带，挡掉第 2、4、6… 带：所有保留带的相位彼此相差 $2\pi$，同相叠加，P 点得到亮点；
- 反过来保留偶数带，得到同样的结果；
- 如果一块都不挡，成对的环带相互抵消，轴上反而可能是暗点。
波带片就是第一种操作的物理实现：在一块薄板上镀出交替的透光与不透光环带，中心的圆斑按惯例做成不透光。它之所以”像透镜”，是因为被保留的那一半环带在轴上的贡献全都同相，叠加起来形成一个焦点；而没被保留的那一半如果直接撤掉，会让光场在别处重新分布，这正是波带片存在多个衍射级、会分流能量的根源。
环带半径从哪里来：一个平方根公式
把上面的”半波带”条件写成几何关系，就能得到波带片的设计公式。设设计波长为 $\lambda$、设计焦距为 $f$，第 $n$ 个环带边界（即第 $n$ 个半波带的外边缘）到中心的半径为 $r_n$。由直角三角形的几何关系可以导出
$$r_n^2 = n\lambda f + \left(\frac{n\lambda}{2}\right)^2.$$
当 $n\lambda$ 远小于焦距时，后一项可以略去，得到工程上常用的近似式 $r_n \approx \sqrt{n\lambda f}$。但要注意，光刻或刻蚀件的最外环往往是整个工艺里最吃紧的部分，那里 $n$ 很大，平方项不能再随手丢掉。
这个公式带来两个很有用的推论：
- 半径按 $\sqrt{n}$ 增长，环带越来越密。 相邻边界的间距 $r_{n+1}-r_n$ 随 $n$ 单调减小，所以最外环最窄，也最难做；
- 最外环宽决定分辨率上限。 器件能做到的最小线宽直接决定了给定焦距下的最大半径（也就是数值孔径），而论文指出最小线宽几乎等于焦斑直径——想把光聚得更细，就得把最外环做得更窄。
代入一组软 X 射线的数字，这条规律会更直观：取 $\lambda = 1$ nm、$f = 5$ mm、最大半径 $R = 100\ \mu m$。先在公式里做一次量纲检查：$\lambda f = 1\times10^{-9} \times 5\times10^{-3} = 5\times10^{-12}\ \mathrm{m^2}$，与 $R^2 = 1\times10^{-8}\ \mathrm{m^2}$ 同为面积量纲，两者之比是无量纲数，可以放心地拿来做方程。解出 $n \approx 2000$，即 100 μm 半径内要排下约 2000 个半波带；最外环宽 $r_{2000}-r_{1999} \approx 25$ nm，对应数值孔径 $NA = R/f = 0.02$，衍射受限焦斑约 $1.22\Delta r \approx 30$ nm。作为对照，同一文献报道的硅基软 X 射线波带片原型是 100 个环带、直径 20 μm、最外环宽 50 nm——环带数与最外环宽的组合，基本决定了一块波带片的”能力边界”。
表 1：不同波段下波带片的典型尺度与实现方式（参数取自本文参考资料列出的开放获取论文）
| 波段 | 光波长量级 | 典型环带尺度 | 主要实现方式 |
|---|---|---|---|
| 可见光 | 数百 nm | 最外环亚微米 | 步进光刻 + 彩色光刻胶 |
| 软 X 射线 | 1 nm 量级 | 最外环数十 nm | 电子束光刻 + 低温刻蚀 |
| 太赫兹 | 0.3 mm 量级 | 毫米量级 | 超精密金刚石车削 |
波长越长，同样的焦距和口径下需要的环带数越少、环带越宽。太赫兹波段的波带片因此可以用机械加工的方式制作：实验中的设计工作频率为 1 THz、焦距 20 mm，衬底是直径 30 mm、厚 1 mm 的高阻硅。同一个公式，在不同波长上把工艺难度分配到了完全不同的环节。
从二值振幅型到连续相位型
最朴素的做法是”遮一半、透一半”：在不透明基板上镀铬或金属，做成交替的透光/不透光环带。这样做的器件简单、对波长不敏感，但它付出的代价也很直接——一半以上的入射光被挡掉，被挡的部分不只是浪费，还决定了器件效率的上限。这种结构称为二值振幅型波带片。
更高效的做法不去挡光，而是给透过环带的光一个合适的相位。设想让每一圈透过的光都带上 $\pi$ 的相位延迟，原本会相互抵消的两组环带就变成了同相叠加，理论上可以接近 100% 的衍射效率；进一步把相位做成沿径向连续变化的平滑剖面，就能把所有入射光集中到一个衍射级，而不是分散到多个级次里。这时的器件已经不是”透光与不透光的交替”，而是”相位深浅的交替”。
一条真实的器件设计路线可以说明这个过程：先算出理想波带片想要的未缠绕相位剖面，再把相位按 $2\pi$ 范围缠绕回来——凡是超过 $2\pi$ 的部分减去 $2\pi$，于是相位剖面在环带边界处出现周期性的突变，形成一圈圈同心环；最后把相位剖面对应成材料的厚度剖面，用聚合高度或刻蚀深度去实现。缠绕这一步也正是”相位型”波带片与”遮挡型”波带片在结构上看似相似、本质上完全不同的地方：前者靠相位差区分环带，后者靠有没有材料区分环带。
图 1：(a) 设计波带片的未缠绕相位剖面；(b) 按 2π 范围缠绕后的相位剖面，环带边界处出现周期性相位突变；(c) 相位调制量与聚合高度的关系；(d) 由优化参数反推的高度剖面；(e) 连续相位波带片相位分布的二维仿真；(f) 对应的聚合高度二维分布。
表 2：二值振幅型与连续相位型波带片的对比（依据参考资料中的液晶波带片论文整理）
| 对比项 | 二值振幅型 | 连续相位型 |
|---|---|---|
| 环带调制方式 | 透光/不透光交替 | 相位沿径向连续变化 |
| 入射光利用率 | 约一半被挡掉 | 理论衍射效率接近 100% |
| 衍射级次 | 能量分散到多个级次 | 集中到一个级次 |
| 制备难点 | 遮挡层与图形保真 | 厚度/相位剖面精确控制 |
| 典型实现 | 金属环带、彩色光刻胶 | 光刻胶高度、液晶指向矢调控 |
效率差距不只是纸面推算。在一篇液晶波带片论文中，研究者在同一个液晶盒里、用相同的直径与焦距分别制作了连续相位型与二值型器件并做对比，实验结果给出的是连续相位设计的聚焦效率接近翻倍。图 2 同时展示了这类器件的工作状态。
图 2：(a) 633 nm 激光照明下焦平面上三个截面的光斑，以及施加 10 Vpp 电压后焦点消失的对照；(b) 相同直径与焦距的连续相位波带片与二值波带片在焦平面上的归一化光强对比。
短波长与长波长的两套做法
波带片真正的价值，在折射透镜最不好用的地方体现得最清楚。
X 射线是这一矛盾的极端例子。X 射线在材料中的折射率与 1 的偏离量只有 $10^{-5}$ 甚至更小，很难靠一块透镜的曲面把光束”掰”向焦点——要得到可见光镜头那样的偏折能力，透镜得做得极薄、极长，或者干脆做成许多片叠在一起。波带片不依赖折射率的大幅变化，只要环带尺寸做得足够小，就能把光聚到纳米级的光斑，因此长期以来是软 X 射线显微与谱学装置上的主力聚焦元件。它的瓶颈也从”怎么偏折”换成了”怎么刻出最外环”：最外环宽 $\Delta r$ 决定数值孔径、分辨率和可用直径，高宽比 $t/\Delta r$ 则是衡量工艺难度的关键指标。一篇软 X 射线波带片工艺研究用电子束光刻配合低温刻蚀，做出了 100 个环带、直径 20 μm、最外环宽 50 nm 的硅基原型，正是沿着减小最外环宽这条路线推进。
可见光波段的思路正好相反：波长较长，同样的口径与焦距下需要的环带更少、线宽更宽松，工艺上的挑战从”刻得多细”转向”做得多便宜”。一篇论文用彩色光刻胶配合 i-line 步进光刻，在 8 英寸石英晶圆上一次性做出可见光波带片，只需涂胶、曝光、显影，不需要刻蚀等后处理；设计波长 550 nm 下把光聚焦到 1.1 μm 直径，实测聚焦效率为 7.2%，仿真与实验吻合。它的定位并不是和高端物镜抢分辨率，而是提供一种可大面积、低成本复制平面透镜的路线。
图 3：550 nm 设计波长下彩色光刻胶波带片的实验（绿线）与仿真（红线）对比：(a) 焦点处的强度剖面；(b) 聚焦效率随积分半径的变化，横轴下半部分为积分半径，上半部分为按实测半高全宽 1.1 μm 归一化后的比值。
波长再拉长到太赫兹波段，情况又改变了。1 THz 对应的波长约 0.3 mm，环带宽度可以做到毫米量级，于是超精密机械加工成为可行的选择：在一篇工艺研究中，研究者对高阻硅衬底做离子注入表面改性、超精密金刚石车削与磁控溅射，把同心环带直接车在硅片上，实验设计的工作频率为 1 THz、焦距 20 mm，衬底直径 30 mm、厚 1 mm。同一个平方根公式，在可见光、X 射线和太赫兹波段把难度分别推给了光刻精度、刻蚀工艺和机械加工。
用电压把焦点换一个位置
把相位型波带片的相位调制材料换成可调材料，波带片就从一块固定器件变成了可动态调焦的元件。一个具体的例子是液晶波带片：先用光取向与双光子聚合在液晶盒内写入聚合物网络，把局部的液晶指向矢”锁定”成设计的连续相位剖面；再用外加电压改变其余区域的液晶取向，就能改变整体相位调制深度。600 μm 直径、设计焦距 30 mm 的器件在 633 nm 下正常工作，施加 10 Vpp 电压时焦点消失。
比”开与关”更有意思的是相位缠绕深度带来的多重焦点。相位剖面按 2π 缠绕时，环带边界出现在相位等于 π 的位置；如果把相位按 4π 缠绕，同样的几何位置会出现两条相位突变，于是器件可以同时支持两个不同的焦距。实验中直径 1.2 mm 的器件在 0 Vpp 时焦距为 24 mm，在 2.1 Vpp 时切换为 48 mm；由于两个焦点状态共用同一个物理口径，数值孔径按 $NA \approx R/f$ 变化，焦距从 24 mm 增大到 48 mm 会使 $NA$ 约减半，衍射受限焦斑尺寸 $\delta \approx 0.61\lambda/NA$ 约翻倍。换句话说，可调焦换来的代价之一是长焦状态下的分辨率下降，这也是这类器件设计时必须一并考虑的条件。
表 3：液晶波带片的两个焦距状态（依据参考资料中的论文参数）
| 状态 | 施加电压 | 焦距 | 数值孔径（相对） | 衍射受限焦斑（相对） |
|---|---|---|---|---|
| 焦距状态一 | 0 Vpp | 24 mm | 较大 | 较小 |
| 焦距状态二 | 2.1 Vpp | 48 mm | 约减半 | 约翻倍 |
这类器件的响应速度受液晶层厚度限制，聚合写入的相位剖面精度与液晶响应时间仍是从原理验证走向实际应用需要继续推进的方向；但从”遮挡一半光”的金属环带到用电场改写相位剖面的液晶薄片，波带片一路走来靠的都是同一件事：把到达焦点的次级波调到同一个相位上。
参考资料
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- Labani, M., Clericò, V., Diez, E., et al. Optimization of Soft X-Ray Fresnel Zone Plate Fabrication Through Joint Electron Beam Lithography and Cryo-Etching Techniques. Nanomaterials 14(23), 1898, 2024. https://doi.org/10.3390/nano14231898
- Yamada, R., Kishida, H., Takami, T., et al. Optical Fresnel zone plate flat lenses made entirely of colored photoresist through an i-line stepper. Light: Science & Applications 14(1), 2025. https://doi.org/10.1038/s41377-024-01725-6
- Chen, M., Wang, J., Fang, F. Fabrication of Terahertz Fresnel Zone Plates via Ultraprecision Mechanical Processing. Micromachines 17(3), 368, 2026. https://doi.org/10.3390/mi17030368
- Peatross, J., Ware, M. Physics of Light and Optics, Chapter 10（Huygens–Fresnel Diffraction）。https://optics.byu.edu/
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