球面镜成像原理：凹面镜与凸面镜的焦点、成像公式与球差

从“会放大的镜子”和“会缩小的镜子”说起

浴室里有一面圆形放大镜：把脸凑近，镜中的脸会变大；汽车两侧的后视镜则相反，镜中的车总是“小一号”，但能看到的范围比平面镜更宽。这两类镜子都是球面镜：前者是凹面镜，后者是凸面镜。

本文要回答三个问题：为什么同样是“从球面上切下来的镜子”，凹与凸的成像行为截然相反？像的位置、大小、正倒和虚实，能否用一条公式一次算清楚？这条公式又在什么条件下失效？

球面镜：从球面上切下来、镀上反射层

把一个大球面想象成一个西瓜，沿竖直方向切下两块，就得到两块弯曲的“镜坯”；在它们内侧或外侧镀上反射层，就成了球面镜。凹面镜（concave mirror）的反射层镀在内表面，镜面像“洞穴”一样向内凹陷；凸面镜（convex mirror）的反射层镀在外表面，镜面向外鼓起。

凹面镜与凸面镜的构成

图 1：(a) 从球面上切下的两块镜坯；(b) 凹面镜——反射面在镜体内侧（可记作 “cave”）；(c) 凸面镜——反射面在镜体外侧。光轴穿过球心，与镜面交于顶点。

描述球面镜需要四个几何量，全部来自它所属的那个球：

  • 光轴（principal axis）：过球心与镜面顶点的直线；
  • 顶点 V：光轴与镜面的交点，也是镜面的几何中心；
  • 曲率中心 C：镜坯所属球面的球心；
  • 曲率半径 R：球心到镜面的距离，也就是球面的半径。

光线在球面镜上的反射仍然遵守反射定律：入射角等于反射角，法线沿半径方向指向曲率中心。差别在于，镜面各点的法线方向不同，这使平行光束的反射行为取决于镜面是凹还是凸——凹面镜像在“收拢”光线，凸面镜像在“摊开”光线。

焦距从哪来：f=R/2 与近轴近似

先看凹面镜。一束平行于光轴的光线照到凹面镜上，反射光线会相交于光轴上的一点，这个点叫焦点 F（focal point）。为什么反射光线恰好交到一点？以一条平行光线为例：光线打到镜面上的点 X，过 X 的半径方向（指向曲率中心 C）就是法线，反射定律要求反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角。可以证明，当光线与光轴的夹角很小时，所有平行光线的反射光线都近似交于同一点，该点到镜面的距离就是焦距 f，且

$$f=\frac{R}{2}.$$

这个关系有一个直观来源：对凹面镜而言，平行光线经镜面反射后“折向”光轴，而球面镜的曲率恰好使这种折向在近轴区域等效于把光线聚焦在半径的一半处。对凸面镜，同样的几何关系给出相同的 f=R/2，只是焦点在镜后、焦距按符号约定取负值。

抛物面镜与球面镜的聚焦对比

图 2：(a) 平行光线经抛物面镜反射后交于同一点 F；(b) 平行光线经大开口球面镜反射后并不交于同一点；(c) 当球面镜尺寸远小于曲率半径时，它近似于抛物面镜的中央部分，平行光线基本交于同一点。沿光轴从镜面到焦点的距离为焦距 f。

“小夹角”这个条件至关重要。抛物面镜（截面为抛物线的镜面）对所有平行于光轴的光线精确聚焦；球面镜只有在镜面开口远小于曲率半径、光线都靠近光轴时，才近似具有单一的焦点——这就是近轴近似（paraxial approximation）。图 2 把两者的差别画得很清楚：开口越大，球面镜偏离抛物面越远，反射光线就越不能交于一点，这个偏差就是后面要讲的球差。

四条特征光线：不列公式也能画出像

用公式计算之前，先掌握一种直观工具：特征光线（principal ray）。从物体顶端 Q 发出，只需追踪四条特殊光线，它们经镜面反射后的路径完全确定：

  1. 光线 1（平行光线）：平行于光轴入射，反射后通过焦点 F；
  2. 光线 2（过焦点光线）：沿通过焦点 F 的方向入射，反射后平行于光轴射出；
  3. 光线 3（过球心光线）：沿通过曲率中心 C 的方向入射，反射后沿原路返回（因为此时入射光线与法线重合）；
  4. 光线 4（过顶点光线）：入射到顶点 V，反射光线关于光轴对称。

凹面镜与凸面镜的四条特征光线

图 3：(a) 凹面镜与 (b) 凸面镜的四条特征光线。实像在光线实际交点处形成，虚像在反射光线反向延长线的交点处形成；四条特征光线交于 Q′，即物点 Q 的像点。

对于凹面镜（图 3a），从物体顶端发出的四条光线经反射后真的相交于镜前一点，像的顶端就在那里：物体放在曲率中心之外时，得到一个倒立、缩小的实像。对于凸面镜（图 3b），四条反射光线在镜后发散，把反射光线向镜后延长，它们看似来自镜后的同一点 Q′，得到一个正立、缩小的虚像。画任意两条特征光线即可定出像点，多画几条只是用来验证。

球面镜公式：1/d_o+1/d_i=1/f

特征光线能画出像，球面镜公式则能算出像。记物距（物体到镜面的距离）为 $d_o$、像距为 $d_i$、物高与像高分别为 $h_o$ 与 $h_i$。由光线在顶点附近的反射和相似三角形关系，可以得到

$$\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f},$$

即球面镜公式（mirror equation）。像的大小由线性放大率（linear magnification）描述：

$$m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o}.$$

负号表示倒立：$m<0$ 时像是倒立的，$m>0$ 时像是正立的；$|m|>1$ 表示放大，$|m|<1$ 表示缩小。

使用公式时必须遵守统一的符号约定：凹面镜焦距 $f>0$，凸面镜焦距 $f<0$；实像 $d_i>0$（在镜面的反射侧），虚像 $d_i<0$（在镜面背后）；物距 $d_o$ 恒为正。代入一个算例验证：凹面镜曲率半径 $R=20$ cm，则 $f=10$ cm；把物体放在 $d_o=30$ cm 处，由公式得

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30}=\frac{1}{15},\qquad d_i=15\ \text{cm},\qquad m=-\frac{15}{30}=-0.5,$$

即在镜前 15 cm 处成一个高度为物体一半的倒立实像——这正对应“物体在 2f 之外、像落在 f 与 2f 之间”的规律。

表 1：凹面镜成像随物距的变化（由 1/d_o+1/d_i=1/f 直接计算，f>0）。

物距 d_o 像距 d_i 像的性质 放大率 m
d_o>2f f<d_i<2f 倒立缩小实像 |m|<1
d_o=2f d_i=2f 倒立等大实像 m=−1
2f>d_o>f d_i>2f 倒立放大实像 |m|>1
d_o=f d_i→∞ 不成像（反射光平行） —
d_o<f d_i<0 正立放大虚像（镜后） m>1

最后一行解释了浴室放大镜：把脸放进焦距以内（$d_o<f$），凹面镜就给出一个放大的正立虚像，这正是“近距放大镜”的成像原理。

凸面镜：为什么后视镜里的车“变小了”

凸面镜是发散镜：任意位置的物体经它成像，像距 $d_i$ 都为负，所以只可能成虚像。把负像距代入放大率公式，$m=-d_i/d_o$ 恒为正且小于 1——像总是正立、缩小的。比如曲率半径 $R=40$ cm 的凸面镜，$f=-20$ cm，物距 $d_o=50$ cm 时

$$d_i=\frac{d_o f}{d_o-f}=\frac{50\times(-20)}{50-(-20)}\approx-14.3\ \text{cm},\qquad m=-\frac{d_i}{d_o}\approx0.29,$$

得到一个约为实物三成大小的正立虚像，位于镜后约 14 cm 处（在焦点与镜面之间）。

为什么“变小”反而有用？同一面镜子，凸面镜把来自更大张角的光线都反射进观察者的眼睛，视场比同尺寸的平面镜更宽；代价是物体看起来更小、距离感失真。汽车后视镜、商店和停车场转角镜都利用这一点：宁可让物体“缩小”，也要让驾驶员或行人看到更大的范围。

球差：公式在什么条件下失效

球面镜公式和“单一焦点”都建立在近轴近似的假设上。一旦镜面开口相对曲率半径不再“小”，偏差就显现出来：

球差与彗差

图 4：(a) 球差：离光轴较远与较近的平行光线聚焦在不同位置，离光轴越远偏差越大；(b) 彗差：与光轴不平行的一组平行光线聚焦在不同高度和不同焦距处，像呈彗星状拖尾。彩色光线仅为便于观察，不代表光的颜色。

  • 球差（spherical aberration）：离光轴较远的光线比近轴光线更早交于光轴，像点不再是“一个点”而是一个弥散斑；开口越大、曲率越强，球差越明显。这正是图 2 中球面镜与抛物面镜的差别。
  • 彗差（comatic aberration）：与光轴不平行的一束平行光，经镜面反射后聚焦在不同高度和不同焦距处，像点拖出一条“彗星尾巴”。彗差不是近轴近似失效造成的——抛物面镜同样存在。

所以，日常小口径球面镜（化妆镜、后视镜等）在近轴范围内用起来很好；需要大口径精确聚焦的场景，如天文望远镜主镜和太阳能聚光器，则改用抛物面镜：它们对所有平行光轴的光线精确聚焦，代价是镜面加工更复杂。球面镜的 $f=R/2$、球面镜公式与符号约定，正是在“镜面远小于曲率半径”这条边界内可靠工作的工具。

参考资料

  1. OpenStax, Rice University. University Physics Volume 3, Section 2.2 “Spherical Mirrors”（正文图 1–4 均取自该节图 2.5、2.6、2.9、2.12，CC BY 4.0）. https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/2-2-spherical-mirrors
  2. Physics LibreTexts. 2.3: Spherical Mirrors（OpenStax《大学物理》第三卷镜像页）. https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_%28OpenStax%29/University_Physics_III_-_Optics_and_Modern_Physics_%28OpenStax%29/02%253A_Geometric_Optics_and_Image_Formation/2.03%253A_Spherical_Mirrors
  3. The Physics Classroom. The Anatomy of a Curved Mirror. https://www.physicsclassroom.com/tutorial/reflection-and-mirrors/concave-mirrors/anatomy-of-a-curved-mirror