群速度与相速度：一束光，两个速度

从“光速是多少”说起

真空中的光速 $c\approx3\times10^8$ m/s 是物理常数。可一旦光进入介质，“光的速度”就不再只有一个答案：日常说“光在玻璃中变慢”，指的是光脉冲整体前进的速度；但如果你盯着波面上一个具体的波峰，会发现它跑得比这个脉冲还要快。前者叫群速度（group velocity），后者叫相速度（phase velocity）。两者在色散介质中并不相等，理解它们的差别，是理解光纤通信、脉冲展宽乃至“快光”实验的起点。

相速度：单个波峰的速度

考虑一列沿 $x$ 方向传播的单色平面波，电场可以写成

$$E(x,t)=E_0\cos(kx-\omega t),$$

其中 $k=2\pi/\lambda$ 是波数，$\omega=2\pi f$ 是角频率。所谓“波峰”，就是相位 $kx-\omega t$ 取固定值的位置。令 $kx-\omega t=\text{const}$，对时间求导得到

$$v_p=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\omega}{k}.$$

这就是相速度：单个等相面（波峰或波谷）沿传播方向移动的速度。在折射率为 $n$ 的介质中，$k=n\omega/c$，于是 $v_p=c/n$——“光在介质中变慢”这句话如果只针对单色平面波，指的正是相速度。

波包与群速度：一束光的整体速度

但真实的光束几乎不可能是无限长的单色波。激光脉冲、通信信号、日常的白光，都是许多不同频率分量的叠加。多个正弦波叠加会形成局域的“波包”：在某个区间内振幅显著，其他地方几乎为零。下图是一个经典演示：绿色波包由 7 个不同频率的正弦波叠加而成。

图 2：波包演化动画（来源：Wikimedia Commons，CC BY-SA 4.0）。绿色波包是 7 个不同频率正弦波的叠加，黑色波形是其中振幅最大的分量。

波包整体移动的速度才是我们感知到的“这束光跑多快”。考虑两个频率、波数相近的分量叠加：

$$E=E_0\cos(k_1x-\omega_1t)+E_0\cos(k_2x-\omega_2t)=2E_0\cos(\Delta k x-\Delta\omega t)\cos(\bar{k}x-\bar{\omega}t),$$

其中 $\bar{k}=(k_1+k_2)/2$、$\bar{\omega}=(\omega_1+\omega_2)/2$，$\Delta k=(k_1-k_2)/2$、$\Delta\omega=(\omega_1-\omega_2)/2$。第一个余弦是缓慢变化的“包络”，它以速度 $\Delta\omega/\Delta k$ 移动；当频率分量趋于连续时，这个比值就成为导数

$$v_g=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}.$$

这就是群速度：波包（脉冲）整体移动的速度。下图用深水表面波展示了两种速度的直观差别：红方块以相速度移动，绿色圆圈以群速度传播，深水波中 $v_g\approx v_p/2$。

图 1：深水表面重力波的频率色散（来源：Wikimedia Commons，CC BY-SA 4.0）。红色方块以相速度移动，绿色圆圈以群速度传播；$v_g\approx v_p/2$。

色散：为什么两者会不同

如果介质中所有频率的光都以相同速度传播，那么 $v_p$ 与频率无关，波包的所有分量步调一致，$v_g=v_p$。真空中正是如此：$v_g=v_p=c$。

一旦折射率随频率变化——即存在色散——情况就变了。此时 $v_p(\omega)=c/n(\omega)$ 对不同频率分量不同，波包在传播中会“摊开”，而包络移动的速度也不再等于单个波峰的速度。把 $k=n(\omega)\omega/c$ 代入 $v_g=\mathrm{d}\omega/\mathrm{d}k$，可得

$$v_g=\frac{c}{n+\omega\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\omega}}=\frac{c}{n_g},\qquad n_g=n+\omega\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\omega},$$

其中 $n_g$ 称为群折射率。在正常色散区（大多数透明介质，$\mathrm{d}n/\mathrm{d}\omega>0$），有 $n_g>n$，因此 $v_g<v_p$；在反常色散区，$v_g$ 甚至可以大于 $v_p$，甚至大于 $c$。下图直观展示了“相速度大于群速度”的波包：波峰一帧一帧地从波包中“穿”过去，而波包本身移动得慢得多。

图 3：无色散波包传播动画（来源：Wikimedia Commons，CC BY-SA 4.0）。波包形状保持不变，但单个波峰（相位）比波包移动得更快——相速度大于群速度。

速度	定义	描述对象	真空中	正常色散介质中
相速度 $v_p=\omega/k=c/n$	等相面移动速度	单个波峰/波面	$c$	$v_p>v_g$
群速度 $v_g=\mathrm{d}\omega/\mathrm{d}k=c/n_g$	包络移动速度	脉冲/信号整体	$c$	$v_g<v_p$，通常小于 $c$

信息以群速度传播

一个容易混淆的地方：既然 $v_p$ 可以超过 $c$，是不是就“超光速”了？不是。携带信息的是波包的包络——信号的开关、脉冲的前沿都刻在包络上，而包络以群速度移动。$v_p>c$ 只是等相面图案的移动速度，它不携带任何可分辨的信号，也不违反因果律。真正需要满足 $v_g\le c$ 的是信息与能量的传播速度。

这一点在工程上非常具体：光纤中的群速度色散（GVD）会让不同频率分量跑得不一样快，导致脉冲展宽，限制通信速率；光纤通信里常说的“色散补偿”“零色散波长”，处理的对象都是群速度随频率的变化。反过来，通过介质工程让 $n_g$ 变得很大或很小，还能实现“慢光”或“快光”——2010 年代以来，这些实验在原子气、光子晶体波导等系统中不断刷新纪录。这些话题都从“一束光到底有几个速度”这个基础问题出发。

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参考资料

1. Wikipedia. Phase velocity. https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_velocity
2. Wikipedia. Group velocity. https://en.wikipedia.org/wiki/Group_velocity
3. Wikipedia. Wave packet. https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_packet
4. RP Photonics Encyclopedia. Group Velocity. https://www.rp-photonics.com/group_velocity.html
5. OpenStax, University Physics Volume 3, 1.1 The Propagation of Light（CC BY 4.0）. https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/1-1-the-propagation-of-light
6. HyperPhysics, Georgia State University. Wave Motion: Phase and Group Velocity. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/waves/grpvel.html
7. Phase-and-group-velocity.png. Wikimedia Commons（CC BY-SA 4.0）. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Phase-and-group-velocity.png
8. Wavepacket-loop.gif. Wikimedia Commons（CC BY-SA 4.0）. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wavepacket-loop.gif
9. Wave packet propagation (phase faster than group, nondispersive).gif. Wikimedia Commons（CC BY-SA 4.0）. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wave_packet_propagation_%28phase_faster_than_group%2C_nondispersive%29.gif