菲涅尔反射原理：从 4% 反射率到布儒斯特角

从”玻璃为什么反光”说起

站在窗前看风景时，玻璃窗上总叠着一层淡淡的自己的影子；夜晚从室内往外看，玻璃几乎变成一面镜子。这两种体验指向同一个问题：光打在玻璃表面时，到底有多少被反射回来、多少透过去？

答案比你直觉的要多。一块普通的窗玻璃（折射率约 1.5），每一面在垂直入射时都会反射掉约 4% 的光——一扇窗户有前后两个面，两层反射加起来已经接近 8%。这 4% 不是”玻璃质量差”造成的：它由界面两侧材料的折射率决定，是光与物质相互作用的必然结果，也是镜头镀膜、偏振太阳镜和激光器里各种光学窗口设计的起点。

反射光的占比还会随入射角变化，而且与偏振有关。下图是同一处河流的两张照片：左边没有加偏振滤光，水面反射的天空与云层让人看不清河底；右边加上偏振滤光后，水面反射光被滤除，河底石块清晰可见。

图 1：同一处河流的两张照片：未加偏振滤光时，水面反射的天空与云层使人看不清河底；加上偏振滤光后反射光被滤除，河底清晰可见。

本文要回答的核心问题是：界面反射的比例由什么决定？为什么它随入射角和偏振变化？ 答案是十九世纪初由 Augustin-Jean Fresnel（菲涅尔）从光的波动理论推出来的一组公式，如今以他的名字命名——菲涅尔公式（Fresnel equations）。

菲涅尔公式：把界面的反射”算出来”

先约定两个术语。光波是横波，电场矢量在垂直于传播方向的平面内振动。当一束光斜射到界面上时，入射光线与界面法线构成”入射面”。按电场相对于入射面的取向，偏振可以分成两类：

• s 偏振（德语 senkrecht，垂直）：电场垂直于入射面；
• p 偏振（德语 parallel，平行）：电场平行于入射面。

菲涅尔公式给出的是振幅反射系数，即反射波电场振幅与入射波电场振幅之比：

$$r_s = \frac{n_1\cos\theta_1 - n_2\cos\theta_2}{n_1\cos\theta_1 + n_2\cos\theta_2}, \qquad r_p = \frac{n_2\cos\theta_1 - n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1 + n_1\cos\theta_2}$$

其中 $n_1$、$n_2$ 分别是入射介质与透射介质的折射率，$\theta_1$ 是入射角，$\theta_2$ 是折射角，两者由斯涅尔定律（Snell’s law）联系：

$$n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$$

公式的物理来源是电磁波在界面上必须满足的边界条件：电场与磁场的切向分量在界面两侧连续。把入射波、反射波和透射波写成平面波，代入边界条件求解，就会得到上述两组系数——菲涅尔当年从光的弹性波动理论得到等价结果，后来麦克斯韦电磁理论给出了更严格的推导。

我们平时更关心”反射掉多少能量”。功率反射率（reflectance）等于振幅反射系数的平方：

$$R_s = r_s^2, \qquad R_p = r_p^2$$

对非偏振的自然光（如太阳光、白炽灯光），两偏振方向大致等分能量，所以总反射率取平均：

$$R = \frac{R_s + R_p}{2}$$

垂直入射是最常用的特例。 此时 $\theta_1 = \theta_2 = 0$，两组系数合并为同一个：

$$R = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2$$

把空气 $n_1 = 1.0$、玻璃 $n_2 = 1.5$ 代入：$R = (0.5 / 2.5)^2 = 0.04$，正好是 4%。这就是文章开头那块玻璃的来历。若换成折射率更高的介质（比如钻石 $n \approx 2.4$），垂直入射反射率约 17%，这也是钻石比玻璃”亮”得多的一部分原因。

反射率为什么随入射角变化：布儒斯特角与全反射

斜射时情况变得更有意思。下图是 OpenStax 教材中的经典示意图：一束非偏振光斜射到玻璃表面，电场垂直于入射面的分量（图中用竖直双箭头表示）优先被折射进玻璃，而平行于入射面的分量更多被反射回来，因此反射光不再是”偏振均匀”的自然光，而是水平偏振占优的部分偏振光。

图 2：非偏振光射到玻璃表面后，垂直分量优先被折射/吸收，反射光留下更多水平偏振分量；当入射角等于布儒斯特角时，反射光与折射光互相垂直，反射光完全线偏振。

定量看，反射率随入射角的变化由菲涅尔公式直接算出。以 $n = 1.5$ 的玻璃为例，下图 (a) 是光从空气射向玻璃时 s 偏振、p 偏振与非偏振光的反射率曲线，图 (b) 是反向（玻璃射向空气）的情形：

图 3：按菲涅尔公式数值计算的反射率曲线：(a) 空气→玻璃，垂直入射 R = 4%，s 偏振单调上升，p 偏振在布儒斯特角 θ_B = 56.3° 处降到 0；(b) 玻璃→空气，布儒斯特角 θ_B = 33.7°，超过临界角 θ_c = 41.8° 后进入全反射、R = 1。

两条曲线的形状差别很大，但都与一个关键角度有关——布儒斯特角（Brewster’s angle）。在入射角满足

$$\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1}$$

时，反射光与折射光恰好互相垂直，此时 p 偏振的反射系数为零，反射光只剩下 s 偏振，也就是说反射光完全线偏振。这个关系有一个很简洁的几何推导：当反射光与折射光垂直时，反射角 $\theta_1$ 与折射角 $\theta_2$ 之和为 $90°$；又因反射角等于入射角，由斯涅尔定律 $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 = n_2\sin(90° - \theta_1) = n_2\cos\theta_1$，两边除以 $\cos\theta_1$ 即得 $\tan\theta_1 = n_2/n_1$。

对空气→玻璃（$n_2/n_1 = 1.5$），$\theta_B = \arctan 1.5 \approx 56.3°$。这就是图 3 (a) 中 p 偏振曲线降到零的位置。有意思的是，即使从玻璃射向空气，也照样存在布儒斯特角（此时 $\theta_B = \arctan(1/1.5) \approx 33.7°$），如图 3 (b)。

图 3 (b) 还展示了另一条大家熟悉的现象：光从玻璃射向空气、入射角超过约 $41.8°$（临界角 $\theta_c$，满足 $\sin\theta_c = n_2/n_1 = 1/1.5$）之后，折射光消失、反射率跳到 1，这就是全反射。全反射与布儒斯特角是同一组菲涅尔公式在不同参数区间的表现：一个是 p 偏振反射率归零的”特殊入射角”，一个是两种偏振反射率都到 1 的”极限入射角”。

回到开头的水面反光：水面反射光以水平偏振为主，偏振太阳镜的镜片只让竖直偏振光通过，因此能滤掉大部分水面和玻璃反光（图 1 中的效果）。这类应用不需要精确知道反射率的数值，但知道”反射光带偏振”这一点就够了。

反射时的相位突变：半波损失与增透膜

反射不仅改变光的能量比例，还会改变波的相位。经验规则是：

• 光从折射率较低的介质射向折射率较高的介质表面反射时，反射波发生 $180°$ 相位突变，等效于多走（或少走）半个波长 $\lambda/2$；
• 从折射率较高的介质反射回较低介质时，没有相位突变。

下图用波形示意这两种情形：入射波（实线）碰到界面，左边是低→高介质界面，反射波（虚线）倒相；右边是高→低介质界面，反射波与入射波同相。

图 4：反射相位突变示意：(a) n₁ < n₂，从低折射率介质表面反射时反射波倒相，即相位突变 π、等效光程差 λ/2；(b) n₁ > n₂，反射波与入射波同相、无相位突变。

这个”半波损失”是薄膜干涉的核心。以肥皂泡为例：照到泡膜上表面的光有一部分直接反射（射线 1），另一部分进入膜内、在膜下表面反射后再穿出来（射线 2）。如果膜的厚度很薄，两束光的几何路程差近乎为零，但射线 1 的反射是”空气→水”（低→高），发生 $\lambda/2$ 相位突变，所以两束光仍然相消——这就是为什么刚吹出来的、极薄的肥皂泡反而显暗。膜的厚度增加到使光程差 $2t$（垂直入射近似）等于半个波长的奇数倍时，两束反射光变为同相、干涉加强，白光照射下会看到随厚度变化的彩色条纹。

利用这个原理可以做出增透膜（anti-reflection coating）：在玻璃表面镀一层折射率介于空气和玻璃之间的透明薄膜，让上下两束反射光的光程差恰好是 $\lambda/2$，从而互相抵消。垂直入射时要求

$$2 n_f t = \frac{\lambda}{2}, \quad 即 \quad t = \frac{\lambda}{4 n_f}$$

其中 $n_f$ 是膜层折射率、$t$ 是膜厚——这就是”四分之一波长膜”的由来。教材里的经典算例是氟化镁（MgF₂，$n_f = 1.38$）针对 550 nm 绿光设计的增透膜，最薄厚度约 $550/(4 \times 1.38) \approx 100$ nm。相机镜头表面常泛紫绿色反光，正是因为增透膜只对某一波段（通常设计在可见光中部）反射最低，两端的红、蓝光反射稍多，混合出紫绿色调。

从公式到器件：增透膜、布儒斯特窗与偏振分光

菲涅尔公式的价值在于：只要知道界面两侧的折射率和入射角，就能算出反射率与相位，从而反过来”设计”界面。三组典型应用对比如下：

表 1：菲涅尔公式在器件设计中的三组典型应用。

器件	用到的菲涅尔结论	工作原理
增透膜	界面反射的相位突变 + 反射率公式	四分之一波长膜使上下两束反射光相消，显著降低单面反射率
布儒斯特窗	布儒斯特角处 p 偏振反射率为零	以布儒斯特角放置的透明窗片让 p 偏振光几乎无损透过，s 偏振光被反射
偏振分光	斜入射时 s、p 偏振反射率不同	多片平行片以布儒斯特角叠放，p 偏振透射、s 偏振反射，将非偏振光分成两束正交偏振光

增透膜：除了相机镜头，眼镜、显微镜物镜和太阳能电池玻璃表面也常见增透膜。它对某一设计波长（通常取可见光中部）把反射率压到最低，代价是偏离设计波长的光反射率回升——所以镜头反光会带紫绿色调。若要兼顾宽波段，就需要多层膜设计，用多界面的反射逐层叠加出平坦的低反射带。

布儒斯特窗：气体激光器谐振腔两端常各装一块以布儒斯特角放置的窗片。腔内增益介质产生的主要是线偏振光，窗片让 p 偏振分量几乎无损通过，s 偏振分量则被反射出腔外，相当于在透光的同时完成了选偏。因为布儒斯特窗不需要镀增透膜，通常具有更高的激光损伤阈值，能承受更高的腔内功率。

偏振分光：把若干片透明平板按布儒斯特角平行叠放，非偏振光每经过一片，s 偏振就被反射掉一部分，p 偏振则全部透过，最终在出射端得到两束正交线偏振光。这类分光器件广泛用于激光测量、干涉仪和偏振成像系统中。

最后交代一下公式的适用边界。菲涅尔公式的前提是：界面理想平整、洁净，两侧介质透明（无吸收），并且折射率在讨论的波长处视为常数。真实材料的表面总有微观粗糙度，会带来漫反射分量；金属等吸收介质要用复折射率计算；而折射率随波长变化（色散）意味着布儒斯特角会随波长有微小移动——文中 56.3° 取的是玻璃在可见光区的平均折射率 1.5。理解了这些前提，菲涅尔公式就能从”背公式”变成随手可用的物理工具：看见一块玻璃、一片水面、一枚镜头反光，都能估算出背后那个 4%、那个 56.3°，以及偏振太阳镜为什么有效。

参考资料

1. 1.7 Polarization — University Physics Volume 3（OpenStax, Rice University）
2. 3.4 Interference in Thin Films — University Physics Volume 3（OpenStax, Rice University）
3. Fresnel Equations — RP Photonics Encyclopedia
4. Brewster Windows — RP Photonics Encyclopedia
5. 2.2 Light Incident Normally at a Boundary；2.3 Light Incident at the Brewster Angle — Physical Optics (Tatum), LibreTexts
6. 27.7 Thin Film Interference — College Physics 2e（OpenStax, Rice University）