不该在那里的粒子：从α衰变到扫描隧道显微镜

引言

1928年，一个在哥廷根访问的苏联年轻物理学家翻开卢瑟福的最新实验报告，发现了一个令人不安的矛盾。卢瑟福用α粒子轰击铀原子核，测出铀核周围的库仑势垒至少高达25 MeV——也就是说，任何带正电的粒子想从核内逃出来，理论上需要至少25 MeV的能量。但铀-238自己放射的α粒子，能量只有区区4.2 MeV。

不到势垒高度的六分之一。按照经典物理，这粒子根本不该出现在核外。

但实验事实就摆在那里：铀在衰变，α粒子确实逃出来了。乔治·伽莫夫（George Gamow）意识到，能解释这个悖论的只有一个刚诞生两年的理论——量子力学。1928年7月29日，他向《德国物理学报》提交了论文，用量子隧穿效应完美解释了α衰变。同年次日，普林斯顿的格尼和康登独立提交了类似的理论。三位物理学家在互不知情的情况下，同时打开了量子世界最反直觉的一扇门。

一堵经典物理不允许翻越的墙

要理解隧穿为什么令人震惊，得先理解”势垒”是什么。

把原子核想象成一个深坑，核力（强相互作用）在极短距离内提供极强的吸引力，把质子和中子紧紧束缚。但一旦出了这个极短的距离（约几飞米），核力骤降为零，取而代之的是库仑排斥力——因为α粒子带+2e电荷，重核带大量正电荷，二者互相排斥。从核内往外看，这就像一座山：先是一个极深的吸引势阱，然后是一堵由库仑排斥垒成的高墙，墙外才是自由空间。

经典物理的规则很简单：粒子能量低于墙高，就翻不过去。2米的墙，1.8米的人跳不过——物理如此，直觉如此。但量子力学说：粒子不是球，它是波。

波函数没有身份证：指数衰减的秘密

量子力学用波函数 $\Psi(x)$ 描述粒子。波函数的模平方 $|\Psi(x)|^2$ 表示在位置 $x$ 找到粒子的概率密度。关键来了——波函数进入势垒区域后不会直接归零，而是指数衰减。

以一维方势垒为例：高 $V_0$、宽 $L$ 的势垒，能量 $E < V_0$ 的粒子入射，波函数在势垒内部的形式为：

$$\Psi(x) \propto e^{-\kappa x}, \quad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}$$

穿透概率近似为：

$$T \approx e^{-2\kappa L}$$

这个公式解释了关于隧穿的一切。注意三个关键因素：质量 $m$ 越大，$\kappa$ 越大，隧穿概率越小；势垒高度差 $V_0-E$ 越大，概率越小；宽度 $L$ 越大，概率指数级下降。三者共同决定了”不该出现的粒子”出现的几率。

对铀-238来说，虽然势垒高达~25 MeV而α粒子仅4.2 MeV（$\Delta E$ 很大），但核力的极短程意味着势垒宽度极小，隧穿概率虽小却不为零。伽莫夫计算出的隧穿概率精确对应了铀-238长达45亿年的半衰期——正是这个”几乎不发生但偶尔发生”的概率，让地球在45亿年后仍有铀矿可采。

也解释了Geiger-Nuttall定律这个此前只有经验公式的谜：α粒子能量越高，$V_0-E$ 越小，$\kappa$ 越小，隧穿概率越大，半衰期越短。一个简单的指数关系统一了跨度达20个数量级的半衰期数据。

核素	α粒子能量	半衰期	隧穿概率（相对）
铀-238	4.2 MeV	45 亿年	~10⁻⁴⁰
钋-212	8.8 MeV	0.3 微秒	~1
钋-214	7.7 MeV	164 微秒	~10⁻³

把幽灵变成眼睛：扫描隧道显微镜

伽莫夫之后半个世纪，量子隧穿从一个解释”不该发生的事为何发生”的理论，变成了人类最敏锐的”眼睛”。

1981年3月16日深夜，IBM苏黎世实验室的格尔德·宾宁（Gerd Binnig）和海因里希·罗雷尔（Heinrich Rohrer）屏住呼吸，盯着仪器的输出——他们看到了一条完美的指数衰减曲线：隧穿电流随针尖与样品间距的增大而指数级下降。扫描隧道显微镜（STM）在这一夜诞生。五年后，他们与电子显微镜的发明者鲁斯卡共享了诺贝尔物理学奖。

STM的原理直接来自隧穿公式：当一根极细的金属针尖（尖端仅几个原子宽）靠近导电样品表面至约4-7 Å（0.4-0.7 nm）时，在针尖和样品间施加偏压，电子就会隧穿过真空间隙形成电流：

$$I \propto V \cdot e^{-2\kappa d}$$

其中 $d$ 是针尖-样品间距，$\kappa = \sqrt{2m\Phi}/\hbar$，$\Phi$ 是金属的平均功函数（约4-5 eV）。这个指数依赖意味着：间距每变化1 Å（一个原子直径的量级），隧穿电流就变化约一个数量级。正是这种极端的灵敏度，让STM的竖直分辨率达到了惊人的 0.01 nm——比原子直径还小一个量级。

STM有两种工作模式：恒流模式——保持隧穿电流恒定，记录针尖Z方向的位移，位移轨迹就是表面形貌；恒高模式——保持针尖高度不变，记录电流变化，适合极平整表面。恒流模式最为常用，因为它天然地”贴”着表面形貌走。

更令人震撼的是，STM不仅能”看”原子，还能”搬”原子。1990年，IBM的唐·艾格勒用STM将35个氙原子在镍表面排成了”IBM”三个字母——这是人类第一次用单个原子书写文字。量子隧穿从一个解释核衰变的抽象概念，变成了操纵物质最微小单元的直接工具。

被驯服的隧穿：闪存的量子开关

如果说STM用隧穿”看”原子，闪存就是用隧穿”囚禁”电子。

闪存的核心是一个特殊的晶体管——浮栅晶体管（floating gate transistor）。它在普通的控制栅极和硅沟道之间，插入了一个完全被二氧化硅绝缘层包裹的多晶硅”浮栅”。这个浮栅就像一个被绝缘体密封的电荷监狱。

在正常电压下，电子无法进入或逃出浮栅——SiO₂的能垒高达约3.1 eV，而室温热能仅为0.026 eV，热激发逃逸的概率微乎其微。这正是”非易失性”的来源：断电后数据不丢失。

但当需要写入数据时，电路中的一个电荷泵（charge pump）将芯片外部的低电压（如1.8V）升压至10-20V，施加在控制栅极上。在这个强电场（MV/cm量级）下，原本梯形的氧化层能带被”拉”成三角形，有效宽度大大减小——这就是Fowler-Nordheim隧穿。电子通过这个被电场减薄的势垒注入浮栅，改变晶体管的阈值电压：有电子是”0”，没电子是”1”。

同一个物理效应，在核物理中解释了衰变，在STM中探测了表面，在闪存中存储了数据。

但物理定律的公平之处在于：它不会只在你想要的方向上工作。随着摩尔定律将晶体管缩到纳米尺度，栅极氧化层也被迫减薄。当SiO₂厚度缩到约1.2 nm——仅几个原子层——时，直接隧穿（direct tunneling）开始发生：即使不加高电压，电子也能自发地从沟道隧穿到栅极。这股”关不住”的漏电流成了芯片功耗的噩梦。

尺度	现象	影响
铀核 (~10 fm)	α粒子隧穿逃逸	天然放射性，半衰期45亿年
金属-真空 (~5 Å)	STM隧穿成像	原子级分辨率
闪存氧化层 (~8 nm)	FN隧穿编程	非易失存储，>10年保持
栅极氧化层 (~1.2 nm)	直接隧穿漏电	功耗失控，摩尔定律极限

延伸思考

从铀核内部的α衰变到硅芯片上的闪存单元，量子隧穿贯穿了人类对微观世界的理解史。一个在一维方势垒模型中写下的简单指数 $T \approx e^{-2\kappa L}$，在三个截然不同的尺度上定义了三个截然不同的时代：核物理的诞生（1928）、纳米技术的黎明（1981）、以及摩尔定律的黄昏。

这也许是物理学最迷人的特质：它不关心你是在解释一个谜题、建造一台仪器、还是设计一枚芯片。同一个公式，既可以是”不该在那里的粒子”，也可以是”能看到原子的眼睛”，还可以是”存下整个数字世界的开关”。

参考文献

本文原理图引用自 Wikimedia Commons，遵循 CC 授权协议。

1. 量子隧穿效应. 科普中国/百度百科. https://baike.baidu.com/item/量子隧穿效应/1825408 ↩
2. Merzbacher E. The Early History of Quantum Tunneling. Physics Today, 2002. https://www.cas.miamioh.edu/~jaegerh/phy293/questions/history.pdf ↩
3. Binnig G, Rohrer H. Scanning Tunneling Microscopy — from Birth to Adolescence. Nobel Lecture, 1986. https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1986/binnig-lecture.pdf ↩
4. 栅极隧穿：直接隧穿与Fowler-Nordheim机制. Bohrium科学百科. https://scipedia.bohrium.com/sciencepedia/feynman/semiconductor_physics_and_device_modeling_graduate-gate_tunneling_direct_and_Fowler-Nordheim_mechanisms ↩
5. Lai SK. Future challenges of flash memory technologies. Microelectronic Engineering, 2008. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0167931708003523 ↩