彩虹为什么是42度？一道光弧里的三百年物理学
引言
下次看到彩虹的时候，做一个小实验：面对彩虹站好，然后想象一条从你眼睛到太阳的直线。彩虹的圆心，恰好就在这条直线的延长线上——也就是说，太阳永远在你背后，彩虹永远在你正前方。
这不是巧合。一道完美的主虹（primary rainbow），在天穹中永远占据一个半径为42°的圆弧——42°这个数字不是测量出来的，而是可以从水和空气的折射率直接算出来的。从1307年德国修士希度力的水球实验，到1637年笛卡尔的几何光学推导，再到1666年牛顿的棱镜色散——人类花了近四个世纪，才把彩虹从一个神迹变成一道可以求解的物理题。
一滴水就够了：彩虹的微观光路
理解彩虹不需要考虑漫天雨滴，一滴就够。
拿一个球形的雨滴来看。一束阳光从空气射入水滴，发生第一次折射——从光疏介质进入光密介质，光线向法线偏折。不同颜色（波长）的光折射率不同：水对红光的折射率约1.33，对紫光约1.343。因此，折射这一步已经发生了色散（dispersion），白光被拆成了从红到紫的光谱。
各色光在雨滴内传播，到达雨滴后壁时被反射回来（全反射或近全反射），再次穿过雨滴内部，从前表面射出时经历第二次折射。全程：折射（分光）→ 反射（折返）→ 折射（出射）。
但这里有个关键问题：阳光可以以任何角度射入雨滴，为什么我们只在约42°的方向看到彩虹，而不是四面八方都亮成一片？
笛卡尔的答案：为什么偏偏是42°
1637年，笛卡尔用注水的玻璃球模拟雨滴，测量了不同入射角下出射光的偏向角（deviation angle），发现了彩虹形成的数学秘密。
设入射角为 $i$，折射角为 $r$（由斯涅尔定律 $n_{空} \sin i = n_{水} \sin r$ 决定），则经过一次内反射后，出射光的总偏向角为：
$$\delta = 180^\circ + 2i - 4r$$
把斯涅尔定律代入，$\delta$ 成了 $i$ 的函数。关键来了：这个函数有一个最小值。对红光（$n_{水}=1.33$），当 $i \approx 59.5^\circ$ 时 $\delta$ 取最小约 $137.5^\circ$——此时出射光与入射阳光的夹角为 $180^\circ - 137.5^\circ = 42.5^\circ$。
这个最小值点意味着：大量以接近 $59.5^\circ$ 射入的光线，出射时密集地挤在 $42.5^\circ$ 附近，形成亮度最强的方向。其他入射角的光线则散开各处，肉眼感觉不到。这就是彩虹只出现在特定角度的原因——不是只有这个方向有光，而是只有这个方向光足够亮。
对紫光（$n_{水}=1.343$），彩虹角约 $40.6^\circ$。所以主虹的色彩排列是：外红内紫，红色在最外圈，紫色在最内圈。
| 颜色 | 折射率（水） | 彩虹角 |
|---|---|---|
| 红光 | 1.330 | 42.5° |
| 绿光 | 1.335 | 41.8° |
| 紫光 | 1.343 | 40.6° |
霓虹之间：那条神秘的暗带
有时在主虹的外侧，还能看到第二道更大的彩虹——霓（secondary rainbow）。霓的色彩排列与主虹相反：内红外紫。
霓的光路多了一次内反射：光在雨滴里经历了两次折射和两次反射才出射。多一次反射意味着多一次能量损失，所以霓比虹黯淡得多。更妙的是，霓的彩虹角约 $50.4^\circ$ 到 $53.6^\circ$。
两道彩虹之间的区域——约42°到50°——几乎没有从雨滴散射出来的光。这段暗区被称为亚历山大暗带（Alexander’s dark band），以公元200年首次描述它的古希腊哲学家阿弗罗狄西亚斯的亚历山大命名。暗带的物理原因很简单：主虹的光集中在42°以内，霓的光集中在50°以外，中间就成了光线的”真空地带”。
为什么是弧形？天空中的几何学
彩虹是圆弧，因为所有满足42°偏向角的水滴，恰好分布在一个以”人眼→太阳连线”为轴的圆锥面上。你看到的红色光弧，来自空间中所有恰好满足”红光彩虹角”的空滴水滴——它们构成的形状，在垂直投影下就是一个圆。
如果太阳恰好在地平线上，这个圆锥正好水平，你能看到半圆彩虹。太阳越高，圆锥越往下倾斜，可见弧段越短。太阳高过42°时，整个彩虹弧沉入地平线以下——这就是为什么中午看不到彩虹。反过来，从飞机舷窗往下看，整个圆锥都在视野之内，你能看到完整的圆形彩虹——一个悬挂在云层上的光环。
一个水滴之外的物理学：超数虹与干涉
笛卡尔-牛顿的光学模型成功解释了彩虹的基本形态，但它预言不了彩虹内侧那些若有若无的明暗条纹——超数虹（supernumerary rainbows）。超数虹的成因涉及光的波动性：两条以不同入射角射入水滴、却以相同角度出射的光线，会因为路径差产生干涉——某些颜色增强，某些颜色抵消。
水滴越小，干涉效应越明显，超数虹越清晰。1801年杨氏双缝实验确立光的波动性后，乔治·比德尔·艾里在1830年代用量子前夜的波动光学完整解释了超数虹。1908年古斯塔夫·米（Gustav Mie）提出的米氏散射理论，则给出了任意大小球形粒子对光散射的精确解——从雨滴到雾滴到气溶胶，彩虹理论因此统一。
延伸思考
彩虹可能是人类研究最久的自然光学现象——从亚里士多德的猜想，到笛卡尔的几何推导，到牛顿的色散，到杨氏和艾里的波动干涉，再到米氏散射。但某种意义上，彩虹从来不是”一个东西”——它没有固定位置，没有固定形状，每个人看到的彩虹都是由不同的水滴、不同的光路组成的，甚至你左眼和右眼看到的也不是同一条彩虹。
一道彩虹，就是万亿个水滴同时在做同一道几何光学的题——而你的眼睛，恰好是那个唯一的阅卷人。
参考文献
- 中国科学院光电技术研究所. 彩虹是怎么形成的？. https://opt.cas.cn/kpyd/kpwz/202110/t20211008_6219448.html ↩
- 张亮， 张敏. 彩虹为什么是弧形的. 现代物理知识. http://mp.ihep.ac.cn/cn/article/pdf/preview/11673.pdf ↩
- Astronomy Magazine. Explore the science of rainbows. https://www.astronomy.com/how-to-read-rainbows/ ↩
- Rainbow — Wikipedia. https://en.wikipedia-on-ipfs.org/wiki/Rainbow ↩