迈克尔逊干涉仪原理：分振幅干涉与精密测量

把一束光分成两路，让它们走完不同长度的路程，再把它们重新合到一起：光程差恰好是半个波长时，合起来的光会变暗；相差一个波长时，又会重新变亮。迈克尔逊干涉仪（Michelson interferometer）就是把这个想法做成仪器的最直接方式，也是人类最早能够用光”数”出纳米级长度变化的装置之一。

它的零件并不多：一块半透半反镜、两面平面镜，再加一块补偿板。但正是这套结构把光的波动性变成了可以逐条计数的明暗条纹，把长度测量的精度推进到了波长的若干分之一。本文按光路、公式、数值、应用的顺序依次展开，重点回答三个问题：光是怎么被分成两路又合并的？条纹的位置由什么决定？为什么同一台仪器既能测气体折射率，又能被送上卫星测量高空风场？

光路结构：分振幅干涉如何把一束光分成两束

迈克尔逊干涉仪的核心是一块与光轴成 45° 放置的半透半反镜（分束镜，beamsplitter）：入射光打到它上面时，一半被反射、一半透射，于是同一束光被”复制”成两束。这种通过分割光波振幅获得两束相干光的方式称为分振幅干涉，它与杨氏双缝在波前上取两个点、再让两束光衍射叠加的”分波前干涉”是两条不同路线。

迈克尔逊干涉仪光路示意图

图 1：迈克尔逊干涉仪。(a) 面光源 S 发出的光经半透半反镜 M 分为两束，分别由可移动平面镜 M1 和固定平面镜 M2 反射后回到观察端；(b) 同一光路的平面视图，定镜一臂中放置了与 M 同材质同厚度的补偿板 C。

从图 1(a) 可以看到光路的走向：来自面光源 S 的光先射向分束镜 M，透射的部分继续前进到达可移动的平面镜 M1，反射回来后再由 M 转向观察端；被 M 反射的另一部分则射向固定的平面镜 M2，返回后穿过 M 到达同一观察端。两条支路各自往返一次，在 M 处重新汇合，进入观察者或探测器。

这里有一个容易被忽略的细节：一束光在 M 上经过三次（透射-反射-反射），另一束只经过一次，而玻璃中的光速比空气中慢，若不作处理，两束光的相位差里就会混进玻璃厚度带来的额外项。补偿板 C 的作用正是消除这一项——它是 M 去掉银膜后的同材质、同厚度平板，放在定镜一臂中，使两束光穿过的玻璃厚度完全相同，此后相位差只由几何路程差决定。这也是后文所有公式成立的前提。

结构上还有两点值得先记住：一是它属于双光束干涉，参与叠加的只有两束光，不像法布里-珀罗腔那样有多束光来回反射；二是它的两臂是分开的，可以在一臂里插入待测样品、把另一臂的镜子装在可移动的导轨上，这为”把干涉仪变成测量工具”留下了空间。

光程差与干涉条件：条纹从哪里来

记号先定清楚：分束镜 M 到动镜 M1 的距离记作 $d_1$，到定镜 M2 的距离记作 $d_2$。两束光都要走一个来回，因此它们在 M 处重新汇合时的往返光程差为

$$\Delta = 2(d_1 - d_2).$$

光走完这段额外路程需要时间 $\tau = \Delta / c$，$c$ 是真空光速。于是到达探测器的两束光可以写成同一个波形与它的延迟副本：$E_0 e^{i(kz-\omega t)}$ 与 $E_0 e^{i(kz-\omega(t-\tau))}$。把两者相加再取模方，得到探测器处的光强

$$I = 2I_0\left[1+\cos(\omega\tau)\right] = 4I_0\cos^2!\left(\frac{\omega\tau}{2}\right),$$

其中 $I_0$ 是只让一个臂通光时的强度。把 $\omega\tau = 2\pi\Delta/\lambda_0$ 代入，就得到更常用的形式

$$I = 4I_0\cos^2!\left(\frac{\pi \Delta}{\lambda_0}\right).$$

这个式子说明两件事。第一，干涉仪的强度在 $0$ 与 $4I_0$ 之间变化：两束光同相时叠加出四倍于单臂的强度，反相时完全抵消，这正是”分振幅”带来的对比度优势。第二，决定明暗的既不是 $d_1$ 也不是 $d_2$ 单独的数值，而是它们的差，而且要以往返长度计算——这一点在读数时最容易出错。

由此可以直接写出干涉条件：

  • 相长干涉（亮条纹）：$\Delta = m\lambda_0$，$m$ 为整数；
  • 相消干涉（暗条纹）：$\Delta = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda_0$。

如果观察屏上某个位置满足上述条件，它就落在一条亮条纹或暗条纹上；相邻两条亮条纹对应的光程差相差一个波长。据此，如果慢慢平移动镜 M1 并使 M2 保持不动，光程差每改变 $\lambda_0$，视场中就会有一条条纹移过参考点：

$$\Delta d = \frac{m\lambda_0}{2}.$$

系数里的 $2$ 来自往返：镜子只走一小段，光却要多走两倍的路程。换句话说，动镜移动半个波长，条纹就移动一条，这就是把波长当作尺子刻度来使用的方式。

数条纹：位移与折射率怎么测

有了上一条关系，干涉仪就成了两把”尺子”：一是直接数条纹测位移，二是把样品放进一臂、用条纹变化反推介质性质。

测位移。 以 630 nm 的红色激光为例，若视场中有 1 条条纹移过参考线，代入 $\Delta d = m\lambda_0/2$（取 $m=1$）得

$$\Delta d = \frac{1\times 630\ \text{nm}}{2} = 315\ \text{nm} = 0.315\ \mu\text{m}.$$

也就是说，人眼在视场里数出一条条纹，对应的机械位移不到头发直径的千分之五。若数到 100 条条纹，$m=100$，位移就是 $100\times630/2\ \text{nm}=31.5\ \mu\text{m}$——灵敏度来自”把长度换算成条纹条数”这一步，而不需要更精密的机械刻度。历史上标准米的定义就建立在这一能力上：它曾规定为氪-86 谱线 1 650 763.73 个波长所对应的镜面位移。

测折射率。 在一臂中插入一个长度 $t=2$ cm、可抽真空也可充气的玻璃气室。光在气室中往返一次走过的几何路程是 $2t$，但充气后波长变为 $\lambda_0/n$，同样的几何路程里能容纳的波数变多，多出来的部分表现为条纹移过参考线。设观察到 $m$ 条条纹，则

$$n-1 = \frac{m\lambda_0}{2t}.$$

把测量值代入：$\lambda_0 = 632.8$ nm、$t = 2\times10^{-2}$ m、$m = 122$，

$$n-1 = \frac{122\times632.8\times10^{-9}\ \text{m}}{2\times0.02\ \text{m}} \approx 1.93\times10^{-3},\qquad n \approx 1.0019.$$

这里可以顺手做一次量纲检查：分子是波长乘条数，量纲为长度；分母 $2t$ 也是长度，比值无量纲，符合”折射率之差”的身份。数值上 $1.9\times10^{-3}$ 也符合空气类气体的量级（常压空气的 $n-1$ 约为 $2.9\times10^{-4}$，该算例给出的 0.0019 对应充气压力高于常压的情形）。这个量级说明：气体折射率与 1 的差别小到第三、第四位小数，普通折射方法很难分辨，而干涉仪把它转换成了上百条可以逐条计数的条纹。

条纹的形状与相干性：什么样的光才能干涉

到目前为止，我们只讨论了某一点上的明暗。实际上视场中呈现的是一幅条纹图样，它的形状取决于光源和两臂的几何关系。

对面光源照明、两面镜子接近垂直的常见配置，条纹是一组同心圆环。原因在于，从面光源上不同点出发的光，射入干涉仪的倾角 $\theta$ 各不相同，实际光程差中包含一个与倾角有关的因子，可以写成 $2(d_1-d_2)\cos\theta$。同一个倾角对应同一条条纹，因此相同倾角的光在屏上汇聚成同一个环——这类条纹也叫等倾条纹。倾角越大，光程差变化越快，圆环越密集。如果两镜之间存在一个很小的夹角，倾斜一侧的条纹会退化成近似等间距的直条纹，这也是实验室里调光路时常见的图样。

不过，无论条纹是圆环还是直条纹，能看到多少条、能走多远，都取决于光源的相干性。前面推导中假设两束光除了时间延迟之外完全相同，这个假设只在光程差不太大时成立。真实光源有一定光谱宽度 $\Delta\lambda$，不同波长成分的条纹间距略有差别，当光程差增大时它们逐渐错开，亮纹与暗纹互相填补，条纹对比度随之下降。能维持条纹的最大光程差称为相干长度

$$L_c \approx \frac{\lambda_0^2}{\Delta\lambda}.$$

代入一组数字就有直观感觉：某条黄色谱线 $\lambda_0 \approx 589$ nm、带宽 $\Delta\lambda \approx 0.6$ nm 时，$L_c \approx (589\ \text{nm})^2 / 0.6\ \text{nm} \approx 0.58$ mm，干涉仪两臂差只能在这个量级内移动；换成带宽窄得多的稳频激光，相干长度可以拉长到米甚至更远，干涉仪也因此能测更长的位移。相干性在这里不再是抽象概念，它直接决定了仪器量程。

以上讨论的都是”把光分成两束、再合起来”的经典情形。真实的迈克尔逊干涉仪读数时，探测器记录的往往不是一条条纹的亮度，而是整幅图样随光程差变化的曲线——把光强随光程差记录下来得到干涉图（interferogram），再对它做傅里叶变换，就能反推光源光谱，这是傅里叶变换光谱学的起点。

MIGHTI 在轨记录的干涉条纹图样

图 2：迈克尔逊干涉仪在轨记录的干涉图样。(a) 白天仅含大气信号的曝光；(b) 夜间仅含大气信号并带有相位变化的曝光。图中可见条纹在不同探测器行上的相位移动。

从实验室到工程：几类典型应用

同一条”光程差决定条纹”的关系，在不同工程场景里被换成了不同的待测量。下面这几类用途的差别，恰好说明了这台仪器的通用性。

表 1：迈克尔逊干涉仪的几类典型用途及其依据的关系式。表中数值分别为 630 nm 光源的位移算例、2 cm 气室的折射率算例、参宿四的角直径测量结果与引力波事件的峰值应变。

用途 测量对象 依据的关系 典型量级
位移计量 动镜位置变化 $\Delta d = m\lambda_0/2$ 630 nm 光源下每条约 315 nm
折射率测量 气体、薄膜的折射率 $n-1 = m\lambda_0/(2t)$ 2 cm 气室、122 条条纹给出 $1.9\times10^{-3}$
傅里叶变换光谱 光源的光谱分布 干涉图作傅里叶变换 可见光至红外波段
恒星干涉测量 星体角直径 空间相干半径与源角的关系 参宿四源角约 $2.3\times10^{-7}$ rad
引力波探测 时空应变引起的臂长变化 两臂光程差随应变改变 峰值应变 $1.0\times10^{-21}$

傅里叶变换光谱。 把动镜装在匀速移动的导轨上，探测器记录的强度随光程差变化形成干涉图，其中每个波长成分贡献一套自己的余弦条纹。对这个干涉图作傅里叶变换，就能把各种波长成分分开，得到光源光谱。与用棱镜或光栅逐波长扫描相比，这种方式可以同时采集全波段信号，是红外光谱仪器的常见方案。第 5 节提到的”条纹对比度随光程差衰减”，在这里被反过来利用：干涉图衰减得快慢，直接反映光源的谱宽。

恒星干涉测量。 1920 年代，迈克尔逊把两台分离的望远镜接到一台干涉仪上，用两个子孔径之间的空间相干性测量星体角直径。参宿四在 570 nm 波长处测得的相干半径为 3.1 m，对应的源角约 $2.26\times10^{-7}$ rad；结合 548 光年的距离，可估算其直径约为 $1.2\times10^{12}$ m。这次测量的意义不在于精度有多高，而在于它证明了干涉仪可以把”两个相距很远的采样点”变成一把测量天体尺寸的尺子——今天的光学干涉阵仍然沿用这一思路。

引力波探测。 激光干涉引力波天文台（LIGO，Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory）把迈克尔逊干涉仪的两臂各拉长到 4 km，并在臂中加装法布里-珀罗腔来增加光与引力波的作用时间。引力波经过时，两臂长度被交替拉伸与压缩，干涉仪输出的光强随之变化。2015 年 9 月 14 日，两台探测器同时记录到一个频率由 35 Hz 扫到 250 Hz 的信号，峰值应变约 $1.0\times10^{-21}$。作为量级对照：$10^{-21}$ 的应变乘上 4 km 的臂长，对应约 $4\times10^{-18}$ m 的长度变化，比质子的电荷半径还小三个数量级。这类仪器之所以能够工作，靠的正是第 2 节里那个简单的光程差关系——把极微小的长度变化转换成可以统计判别的条纹强度变化。

MIGHTI 传感器单元与光具座布置

图 3：星载迈克尔逊干涉仪的实物与光路布局。上图为 MIGHTI 传感器单元，下图为装齐光学元件的光具座，其中 L 表示透镜、M 表示反射镜、F 表示滤光片，核心为一套迈克尔逊干涉仪结构。

星载风场测量。 迈克尔逊干涉仪的另一种用法是把待测对象从”长度”换成”相位”。NASA 的 ICON 卫星搭载了 MIGHTI（Michelson Interferometer for Global High-Resolution Thermospheric Imaging，迈克尔逊干涉仪全球高分辨热层成像仪），它观测高层大气气辉谱线的干涉条纹。大气沿视线方向运动时，谱线发生多普勒频移，条纹相位随之移动；读出相位移动量，就能反演热层水平风场。图 3 显示了它的实物与光具座布局：核心仍是分束镜与两面反射镜，但整台仪器要在轨完成逐像元相位标定、监视干涉仪温度与条纹对比度，并修正与信号强度相关的相位偏移。从实验室桌面到卫星平台，变化的是工艺与标定手段，不变的是”光程差—条纹”这条主线。

（本文参考资料见下节所列开放教材、讲义与论文，各图来源与许可登记在 assets/*.meta.json 与素材包 sources.md 中。）

参考资料