文献解读 | 彩色失焦定量相位成像：一片氮化硅超透镜如何在单张照片里恢复相位（Light: Science & Applications 2024）
论文简介
这篇论文解读的是 Aamod Shanker、Johannes E. Fröch、Saswata Mukherjee、Maksym Zhelyeznyakov、Steven L. Brunton、Eric J. Seibel 与 Arka Majumdar 等人 2024 年 11 月发表于 Light: Science & Applications 的工作：Quantitative phase imaging endoscopy with a metalens（DOI: 10.1038/s41377-024-01587-y，开放获取，CC BY 4.0；期刊原文页；PMC 全文）。论文主要完成于美国华盛顿大学（电气与计算机工程、机械工程与物理系，Arka Majumdar 课题组），并与罗切斯特大学视觉科学中心合作，通讯作者为 Aamod Shanker 与 Arka Majumdar。
一句话贡献：论文用一片口径 0.5 mm、氮化硅（Si₃N₄）纳米柱构成的”双曲面型”超透镜（hyperboloid metalens），把可见光色差这个通常要消除的像差变成编码自由度——红光、绿光、蓝光分别聚焦在轴向不同深度，单张彩色照片因此同时携带三幅等效失焦图；再用光强传输方程（transport of intensity equation，TIE）从这三幅图里恢复定量相位，并把相位以”逐色强度”的形式穿过由 3 μm 纤芯组成的相干光纤束，实现单帧、免干涉、免机械扫描的定量相位内窥成像。
定量相位为什么”装不进”内窥镜
先看要解决的问题。像细胞、藻类、组织切片这类半透明样品几乎不吸收光，在普通显微镜里又透明又缺少对比度；但它们内部的折射率起伏会让透射波前发生相位延迟。一束光穿过高度为 $h$、折射率差为 $\Delta n$ 的结构后，相位改变
$$\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}h\Delta n.$$
把数值代入会得到非常直观的量级：$\lambda=530$ nm、$\Delta n=0.52$（玻璃相对空气）时，一个 100 nm 高的台阶大约对应 $2\pi\times 100\times 0.52/530\approx 0.62$ rad，也就是约 0.2π——这正是论文报告的相位分辨率水平。定量相位成像（quantitative phase imaging，QPI）要做的就是把这层”看不见的厚度”精确测出来。
传统 QPI 主要有两条技术路线。干涉式方案让样品光与参考光叠加，把相位编码进干涉条纹，精度高，但需要稳定的参考臂与相干光源，光学布局很难缩小；离焦强度方案（TIE 即属此类）不需要参考光，靠”在不同轴向位置各拍一张强度图、看强度随传播怎么变”来反推相位，代价是要多次采集或机械移动样品/相机。对内窥镜来说问题更麻烦：相干光纤束（coherent fiber bundle，CFB）由成千上万根单模光纤芯规则排列而成，每根纤芯只忠实传递”这个像素有多亮”，相邻纤芯之间的纳米级不均匀会把光场的相位关系彻底打乱——干涉条纹经过光纤束就散了，而机械扫描在几毫米直径的探头里又几乎不可行。
表 1：常见定量相位成像路线与本文方案的对比（内容依据论文引言及文末参考资料整理）
| 路线 | 相位编码方式 | 采集次数 | 光纤束兼容性 | 硬件代价 |
|---|---|---|---|---|
| 干涉式 QPI | 样品光与参考光干涉 | 单帧或多帧 | 差（光纤打乱相干相位） | 需要参考臂、相干光源与稳定对准 |
| 传统离焦 TIE | 多个轴向平面的强度 | 多次/机械扫描 | 差（探头内难以移动） | 需要平移台或多相机 |
| 超表面 DIC 相位梯度（Kwon 2020） | 空间分光：同时拍三幅 DIC 图 | 单帧 | 需另行适配 | 两层介质超表面系统，体积约 1 mm³ |
| 本文：色散失焦 TIE | 光谱分光：RGB=三个失焦平面 | 单帧 | 好（相位被编码进逐色强度） | 单层超透镜 + 白光 LED + 彩色相机 |
设计：把色差变成三个等距的失焦平面
超透镜（metalens）是靠亚波长纳米柱阵列调制相位、实现聚焦的平面镜片。论文用的不是精心消除色差的宽带消色差设计（那是过去十多年超表面领域最著名的方向之一），而是一个”朴素”的双曲面型透镜：沿半径 $r$ 的相位剖面写成
$$\varphi(r)=\frac{2\pi}{\lambda}\left(\sqrt{r^{2}+f^{2}}-f\right)\approx\frac{2\pi}{\lambda}\frac{r^{2}}{2f},$$
其中 $f$ 是设计焦距，第二个等号是傍轴近似。关键在分母里的 $\lambda$：相位剖面是按某个设计波长写下的，一旦换成别的波长，同一块镜片会表现出”焦距与波长近似成反比”的行为——$\lambda f\approx$ 常数。这就是色差：红光（长波长）焦点最近，蓝光（短波长）焦点最远。过去大家想尽办法用多波长协同设计消除它；这篇论文反其道而行之，把这一条”纵向色散”当成免费的轴向扫描。
论文的器件指标很克制：口径 0.5 mm，设计把绿光（530 nm）聚焦在约 1 mm 处，有效数值孔径（numerical aperture，NA）约 0.25。实测与设计吻合：红光（625 nm）最先聚焦在约 0.95 mm，绿光主焦点在约 1.15 mm，蓝光（455 nm）最后聚焦在约 1.35 mm，三个颜色对应的 $\lambda f$ 乘积几乎相同。红、绿之间波长差 $\delta\lambda=95$ nm，由 $\lambda \delta f\approx -f \delta\lambda$ 估计焦点差约 190 μm（实测约 180 μm）；因为 4f 成像结构里像面移动量是焦点移动量的两倍，这 190 μm 的焦长差在像面表现为约 0.4 mm 的失焦距离差——足够把”红照片”和”绿照片”变成一对漂亮的互补失焦图。氮化硅纳米柱的尺寸用严格耦合波分析（rigorous coupled wave analysis，RCWA）计算，电子束光刻加刻蚀制备。
图 1：超透镜的轴向色焦行为。(a) 发光二极管（LED）光源分别以红（625 nm）、绿（530 nm）、蓝（455 nm）中心波长照射超透镜；把实测相机强度中心列沿焦点方向堆叠成 y–z 纵向视图，可看到焦长随波长的依赖：设计使绿光聚焦在约 1 mm 处，实际红光最先聚焦（0.95 mm），绿光其次（z=1.15 mm），蓝光最远（z=1.35 mm）；蓝、绿光在 0.5 mm 处还有一个较弱的次级焦点。(b) ×10 显微镜下制备好的双曲面型超透镜表面明场像。(c) 沿传播方向的焦长 z 随波长 λ 的变化，几乎完美符合 λ·z≈常数。(d) ×20 物镜在标准显微镜上测得的 RGB 三色 LED 在不同焦距处的二维点扩散函数（PSF）。
图 1a 的纵向视图值得盯一眼：三条色带的主焦点在轴向错开约 200 μm 的间隔，而每条色带本身仍是一段清晰的聚焦光束。这意味着”红、绿、蓝三张图”在物理上就是样品附近三个不同深度平面的强度记录——接下来只需要一个能把”失焦量”换算成相位的算法。
机制：把三种颜色当成三张失焦照片
光在自由空间传播时，强度不是静止的：它像流体密度一样重新分布，而驱动这种重新分布的”流”，正是相位梯度。定量描述这个过程的方程就是光强传输方程（TIE）：
$$\frac{\partial I}{\partial z}=-\frac{\lambda}{2\pi}\nabla_{\perp}\cdot\left(I\nabla_{\perp}\varphi\right),$$
其中 $I$ 是强度、$\nabla_{\perp}$ 是垂直于传播方向的二维梯度。它说的是：只要拿到至少两个轴向平面上的强度图，算出 $\partial I/\partial z$，就能反解出相位 $\varphi$——这相当于把”光的流动”守恒方程倒过来用。
传统做法用机械平移台改变 $z$，论文把变量换成 $\lambda$。既然 $\lambda z\approx$ 常数，波长差与轴向距离差可以互相换算（$\lambda \mathrm{d}z=-z \mathrm{d}\lambda$），于是”红照片减绿照片”就是一次失焦差分 $\mathrm{d}I/\mathrm{d}\lambda$，与”轴向移动一段距离后做差”完全等价。具体求解时，论文先把 $I\nabla_{\perp}\varphi$ 用一个标量势 $\psi$ 的梯度表示（亥姆霍兹分解），把 TIE 变成泊松方程
$$\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}\lambda}=\nabla^{2}\psi,$$
在傅里叶域除以 $k_x^{2}+k_y^{2}$（加 Tikhonov 正则项避免除零）解出 $\psi$，再由 $\nabla^{2}\varphi=\nabla_{\perp}\cdot\left(\nabla_{\perp}\psi/I\right)$ 反解相位；随后用 TIE 与相位传输方程（transport of phase equation，TPE）交替做几次前向传播迭代，修正吸收、涡旋等带来的残差。每一步只需几次快速傅里叶变换（FFT），所以整套后端很轻，足以实时运行。还有一个附带好处：傅里叶积分求解天然对相位解包裹，相位超过 $2\pi$ 也不需要像干涉法那样逐点跳变处理。
彩色相机在这里不是装饰品：CMOS 感光芯片前有拜耳滤色片（Bayer filter），一次曝光就把红、绿、蓝三色分别记录下来，帧率与普通拍照完全相同。论文用光谱仪测了白光 LED 的发射谱，并与相机滤色片响应相乘，得到三个通道的有效峰值波长正好是 625/530/455 nm，与器件表征用的波长一致。实验装置是紧凑的 4f 结构：相位靶放在超透镜前 2f 处，实像成在透镜后 2f 处，NA 0.75 的 ×20 物镜把实像放大到彩色相机上——物镜 NA 大于超透镜的约 0.25，能接住全部角带宽。约 25 mW 白光 LED 下，单帧曝光小于 90 ms，相位成像帧率超过 10 Hz。
图 2：把 RGB 通道当作正负失焦测量来标定。(a) 成像状态下的超透镜显微装置（×20 物镜按比例绘制）：相位靶（精密漫射体）放在超透镜前 2f（2 mm）处，倒立实像成在透镜后 2f 处，物镜把实像放大 ×20 并经管镜成像到彩色 CMOS 相机。(b) 相机单次曝光得到的彩色图。(c) 红、绿通道同时记录漫射体两侧的正、负失焦像。(d) 与等效正负失焦测量的对比：δλ=95 nm 的光谱间隔（λ_R=625 nm、λ_G=530 nm）对应 δf=190 μm 的焦长差，在位于 2f 处的成像面表现为约 0.4 mm 的移动（2δf=±380 μm）。(e) 相位恢复后可以数字传播光场，把相隔约 48 nm 的波长外推到整个可见光谱。(f) 实验实测的失焦图与由光谱测量数字传播得到的结果相似。
标定实验选了一个”设计过的无序介质”——精密漫射体（相对空气 $\Delta n=0.52$）。它把每个波长都散射成复杂的焦散（caustic）图样，而焦散对失焦方向极其敏感：焦点两侧的图样像正片与负片一样互补。图 2c 里红、绿通道恰好拍到这样一对互补图样，证明两色确实分别对应样品两侧的失焦平面；用漫射体标定出的等效失焦间隔约 190 μm，与焦长测量互相印证。这套标定同时确定了正则化参数，之后对未知样品直接用同一套参数求解。
验证：0.2π 相位分辨率与 1 μm 横向分辨率
定量方法要回答两个问题：恢复的相位准不准？能分辨多细、多矮的结构？论文用西门子星（Siemens star）相位靶做验证：靶材料折射率 1.52（相对空气 $\Delta n=0.52$），刻出不同空间频率的辐条图案，本身就是一组从粗到细的”相位台阶”。恢复流程只有一步——拍一张彩色照片，然后解 TIE。
图 3：单次彩色曝光的定量相位恢复与验证。(a) 相机拍到的彩色图（上）经集成滤色片分成 RGB 三个通道（下）。(b) 通道间强度差 dI/dλ 给出强度随颜色的变化（上）；恢复相位后再计算相位随颜色的变化 dφ/dλ∝∇φ·∇φ（下），正好突出相位梯度最强的边缘。(c) 恢复的定量相位图给出测试靶的精确高度分布。(d) 商用相位成像相机在 Nikon 显微镜上测得的真值。(e) 沿 c、d 截线的恢复相位（蓝）与真值（红）按 h=φλ/(2πΔn) 换算成等效高度后对比（上）；以对比度随空间频率变化表征的 QPI 对比传递函数在约 1 μm 横向分辨处降到 1 以下（下）。(f) 以 200 μm 失焦步长实测的西门子星强度图。(g) 由单张彩色图计算重建的”光谱栈”与 f 中实测失焦图对比，验证相位恢复精度——焦点两侧辐条的明暗翻转在测量与重建中一致。
结果分三层。第一层是高度准确性：恢复的相位图与商用相位成像相机（Phasics 系统）在 Nikon 显微镜上测得的真值对比，沿截线换算成高度后几乎重合。第二层是相位灵敏度：论文报告的相位分辨率约 0.2π；用高度公式反推，$\delta h=(0.2\pi/2\pi)\cdot(\lambda/\Delta n)=0.19\lambda\approx 100$ nm（$\lambda=530$ nm），即约 100 nm 高的透明台阶可以被定量分辨——噪声（暗电流、光子散粒噪声、环境光等）决定了低于这个高度的目标对比不足。第三层是横向分辨率：把恢复相位在西门子星各半径处的对比度画成对比传递函数（contrast transfer function，CTF），对比度降到 1 以下的位置约在 1 μm，与衍射极限 $\lambda/(2\mathrm{NA})\approx 1.1$ μm（NA 0.25）同量级。论文还做了一项更强的自检：把恢复出的光场数字传播到不同失焦距离，重建的”光谱栈”与实测的 200 μm 步长失焦图逐帧对比，焦点两侧明暗翻转都能复现——说明恢复的不只是一个高度值，而是完整的复振幅光场。
这里有一个反直觉的工程细节：取色通道差 $\mathrm{d}I/\mathrm{d}\lambda$ 时，各通道共有的多重散射背景会被消掉，因此这套差分方法对离焦光天然有抑制，散斑也更少——论文把这归因于宽带光源的长相干长度，效果上类似低相干层析（OCT）的”光学切片”倾向，而不是把宽带照明当作噪声源。
光纤束内窥镜：相位以”逐色强度”穿过 3 μm 纤芯
定量相位成像真正难啃的骨头是内窥场景。论文用的相干光纤束由 18,000 根直径 3 μm 的单模纤芯组成（总面积约 1 mm²），每根纤芯相当于一个像素，忠实传递”这个像素、这个颜色有多亮”，却会把相邻纤芯之间的空间相位关系打乱——这也是为什么传统干涉式 QPI 和依赖透射矩阵标定的方法在光纤束里很难用：前者需要保持相干相位，后者需要光纤每次弯折后重新标定。
这篇论文的关键洞察是：既然相位已经被编码进”同一像素上三个颜色的相对强度”，光纤束只需要可靠传递逐色强度就够了，相位是否被打乱并不重要；而逐色强度传输对光纤弯曲、振动天然稳健。于是超透镜被放在光纤束的远端端面：样品经超透镜成像后直接落在光纤束端面上，光纤束像一块”像素化探测器阵列”把彩色图像传到近端，再由 ×20 物镜中继到彩色相机——整个探头端只有一片平面镜片，没有干涉仪、没有扫描机构、没有参考臂。
图 4：相干光纤束定量相位成像验证。3 μm 的单根纤芯保持光谱（颜色）强度信息，但打乱空间相位。(a) 超透镜把 250 nm 高的标定靶放大 ×5 成像到相干光纤束端面；光纤束在远端（面向样品）起光电探测器阵列的作用、在近端（面向物镜/相机）起阵列光源的作用，传出的图像再经显微物镜放大 ×20 到彩色相机。(b) 光纤束远端逐色保留强度、打乱相位；利用颜色通道间的相关性，可以在相位被光纤打乱之前的位置恢复样品的定量相位。(c) 两个标定靶在光纤束远端恢复的定量相位与制造商 Benchmark Technologies 给出的真值对照（上方靶有斜置，右上角相位略模糊）。(d) 按 h=φ/(Δn·k₀)（Δn=0.52，k₀=2π/530 nm）换算的高度图；比例尺标在超透镜放大之前的样品平面。
端到端验证用 250 nm 高的标定靶完成：超透镜先把靶放大 ×5 成像到光纤束远端，彩色图经 18,000 根纤芯传到近端后，恢复出的相位与制造商标定的真值一致，高度图按 $h=\varphi/(\Delta n\cdot k_0)$（$k_0=2\pi/530$ nm）换算后落在正确量级。在光纤束场景下，论文报告的视场约 28°、相位分辨率仍是约 0.2π。生物样品演示选的是水绵（Spirogyra porticalis）：它的螺旋叶绿体宽约 10 μm，正好考验光纤束的像素化成像能力；论文分别用”超透镜单独成像”与”超透镜+相干光纤束”两种配置拍摄单张白光图，恢复的相位图与样品的光学密度（$\Delta n\times h$）线性对应——单独配置下能看见单根螺旋叶绿体，内窥配置下能区分交叉处上、下两层水绵，即使在低亮度区域，单个珠状结构（原图注称 zygoplasts）仍然可见。这说明相位信息完整地”穿过”了光纤束，而不是在光纤束里被抹掉。
意义与展望
这项工作的意义在于把超透镜的一个“缺点”变成了系统设计资源。宽带消色差超透镜要花大量精力把 $\lambda f$ 的色散压平；本文直接承认色差存在，并用 $\lambda f\approx$ 常数的物理规律把三个波长精确映射到三个已知失焦平面，等于用一片结构最简单的平面镜片换掉了机械扫描台、干涉参考臂和多次曝光。它与 2020 年 Kwon 等人的“两层超表面单帧相位梯度显微镜”（Nature Photonics）形成有趣的对照：那套系统用空间分光（同时采集三幅微分干涉衬度图）换相位梯度，系统体积约 1 mm³；本文用光谱分光（RGB 三通道）换完整定量相位，并且天然兼容光纤束——差异的根源在于两者选择了不同的复用自由度，空间维度复用更容易和既有显微物镜结合，波长维度复用则把“打乱相位但保留逐色强度”的光纤束变成了可行信道。
从原理验证走向实际应用仍有待推进的边界，论文自己也划得很清楚：相位分辨率目前约 0.2π，受噪声、照明相干性与纳米柱工艺容差共同限制；横向分辨率要么受超透镜 NA、要么受 3 μm 光纤芯径约束；拜耳滤色片把空间分辨率摊薄约三倍，但论文用 ×20 放大的过采样补了回来。方法本身不绑死在某一种透镜上——对抛物型（二次）色差的消色差超透镜，作者指出可以用”红、蓝通道取平均再减绿”来估计强度导数，说明只要有可标定的波长-失焦关系，TIE 路线就能工作。更远的方向是把单层超透镜直接附加到现有商用内窥镜或眼科成像结构上，用白光 LED 和普通彩色相机实现单帧无标记相位成像，论文展望的切口小于 1 mm 的微创场景，也落在同一逻辑延长线上。
参考资料
- Shanker A, Fröch JE, Mukherjee S, et al. Quantitative phase imaging endoscopy with a metalens. Light: Science & Applications 13, 305 (2024). DOI: 10.1038/s41377-024-01587-y；期刊原文页；PMC 全文（开放获取，CC BY 4.0）。
- Kwon H, Arbabi E, Kamali SM, Faraji-Dana MS, Faraon A. Single-shot quantitative phase gradient microscopy using a system of multifunctional metasurfaces. Nature Photonics 14, 109–114 (2020). DOI: 10.1038/s41566-019-0536-x。
- Liu Y, Uttam S. Perspective on quantitative phase imaging to improve precision cancer medicine. Journal of Biomedical Optics 29(S2), S22705 (2024). DOI: 10.1117/1.jbo.29.s2.s22705；PMC 全文。
- 论文图 1–4 官方原图（PMC 存储，CC BY 4.0）：见 PMC 文章配图页。