光的衍射原理：惠更斯-菲涅尔原理与夫琅禾费近似

从“光为什么会在边缘拐弯”说起

用激光笔照一片剃须刀片的边缘，墙上阴影的边界并不是一条干净利落的黑线：紧贴边缘会出现几道明暗相间的细条纹，阴影内部也隐约透进一点光。这个现象就是衍射（diffraction）——波遇到孔径、边缘或周期性结构时偏离直线传播，并在空间上重新分布强度。

几何光学把光当成沿直线传播的射线，对这种现象无能为力；一旦把光看成波动，衍射就是必然结果。而且它并不是实验室里才有的稀罕事：望远镜、显微镜、相机镜头、光谱仪、光刻机，几乎所有光学系统的性能上限都与衍射有关。本文要回答三个问题：衍射从哪来、什么时候用哪种近似来算它、它如何决定成像分辨率。

惠更斯-菲涅尔原理：光为什么会绕弯

解释衍射的第一个关键思想来自惠更斯（Christiaan Huygens）：波前上的每一点都可以看作一个新的次级球面波源，这些次级波共同包络出下一时刻的波前。菲涅尔（Augustin-Jean Fresnel）补上了最关键的一步——这些次级波不是孤立存在的，它们会相干叠加，叠加的结果才决定观察点处的光强。合起来就是惠更斯-菲涅尔原理（Huygens–Fresnel principle）。

把这个原理用在单缝上：入射平面波到达挡板时，只有缝内的波前可以通过。缝内每一点都成为次级子波源，向缝后各个方向发射球面子波；挡板外被遮挡的部分没有子波，于是缝后的光场是这些子波干涉的总和。子波向“几何阴影区”扩散，就解释了光为什么会在边缘拐弯；而不同子波到达屏幕上某点的光程不同、相位差不同，彼此加强或抵消，就形成了明暗条纹。

单缝衍射的几何示意

图 1：平面波入射单缝，缝内各点发出次级球面子波，子波相干叠加形成缝后扇形传播的波前；图中标注缝宽 $a$、观察距离 $z$ 与衍射角 $\theta$。

惠更斯-菲涅尔原理的严格化形式是标量衍射理论（Kirchhoff 积分与瑞利-索末菲衍射理论，Rayleigh–Sommerfeld diffraction theory）。2021 年 arXiv 上的一篇论文从瑞利-索末菲理论出发，对单缝、圆孔和衍射光栅在斜入射平面波下的夫琅禾费衍射公式做了显式推导，说明我们后面要用的远场近似是完整标量衍射理论在特定条件下的自然结果，而不是凭空引入的简化。

从衍射积分到两种近似：菲涅尔与夫琅禾费

惠更斯-菲涅尔原理给出了“怎么算”的框架，但直接对所有子波求和并不方便。标准做法是把它写成积分形式：观察屏上某点的光场，等于孔径上所有点发出的次级波按光程差叠加。在傍轴条件下，距离 $r$ 可以展开成

$$r \approx z + \frac{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2}{2z},$$

其中 $z$ 是孔径到观察屏的距离，$(\xi,\eta)$ 是孔径平面坐标，$(x,y)$ 是观察平面坐标。把这一展开代入积分并保留到二次项，就得到菲涅尔衍射积分（Fresnel diffraction integral）：

$$U(x,y,z) = \frac{e^{ikz}}{i\lambda z}\iint U_0(\xi,\eta) \exp!\left[\frac{i\pi}{\lambda z}\big((x-\xi)^2+(y-\eta)^2\big)\right] \mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta .$$

这里的 $U_0$ 是孔径处的光场，$\lambda$ 是波长，$k=2\pi/\lambda$ 是波数。菲涅尔积分在数学上仍然是一个卷积，可以用来计算孔径附近的近场衍射。

如果观察距离足够远，使得孔径内两点发出的子波到观察点的光程差中，$(\xi^2+\eta^2)$ 这一项的影响可以忽略，积分里的二次相位因子 $\exp[i\pi(\xi^2+\eta^2)/(\lambda z)]$ 在孔径范围内近似等于 1，积分就退化为

$$U(x,y,z) \propto \iint U_0(\xi,\eta) \exp!\left[-\frac{i2\pi}{\lambda z}(x\xi+y\eta)\right]\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta .$$

这就是夫琅禾费衍射（Fraunhofer diffraction）。它的形式非常漂亮：远场衍射图样（撇开一个整体相位因子）就是孔径光场 $U_0$ 的二维傅里叶变换（Fourier transform），空间频率恰好由观察坐标除以波长和距离给出。这也带来一个反直觉的结论：孔径越窄，衍射图样越宽；孔径越宽，中央主瓣越窄。

菲涅尔数：近场与远场的分界

“足够远”到底多远？工程上常用一个无量纲数来判断——菲涅尔数（Fresnel number）：

$$F = \frac{a^2}{\lambda z},$$

其中 $a$ 是孔径的特征尺寸（缝宽、圆孔半径等）。它的物理意义可以理解为：从孔径中心与边缘到达观察点的子波之间的光程差，与波长的比值。$F \ll 1$ 时，二次相位因子在孔径内基本不变，进入夫琅禾费（远场）区；$F \gg 1$ 时，二次相位变化显著，需要用菲涅尔积分计算近场衍射；$F \sim 1$ 附近则处于两者之间的过渡区。

菲涅尔数不是一个精确的“一刀切”边界，而是一个量级判据。有一篇 arXiv 上的教学论文专门演示了这种过渡：用同一方孔，逐步拉远屏幕与孔径的距离，可以连续看到衍射图样从菲涅尔区变到夫琅禾费区；他们在实验装置中加入发散透镜，在几米的距离内就获得了放大的菲涅尔衍射图样。

下面的数值模拟用同一个单缝（缝宽 2 mm、波长 632.8 nm）计算了三种屏距下的衍射强度分布，对应菲涅尔数 $F=8$、$1$、$0.12$：

菲涅尔数分区的数值模拟

图 2：同一单缝在不同屏距下的衍射图样。$F=8$ 时近场边缘出现明显振荡；$F=1$ 处于过渡区；$F=0.12$ 时强度分布与 $\mathrm{sinc}^2$ 解析远场结果（红虚线）重合。

表 1：菲涅尔衍射与夫琅禾费衍射的对比。

对比项 菲涅尔衍射 夫琅禾费衍射
观察区域 孔径附近（近场） 足够远处（远场）
判据 菲涅尔数 $F \gtrsim 1$ 菲涅尔数 $F \ll 1$
数学工具 菲涅尔衍射积分（卷积） 孔径函数的傅里叶变换
图样特征 边缘振荡、与距离强相关 形状稳定，随距离整体放大
典型场景 近场成像、衍射透镜近场分析 光栅光谱仪、望远镜焦面、远场光斑

理解菲涅尔数还有一个实用价值：它告诉你实验该摆多远、仿真该建多大。比如用 632.8 nm 的激光照 2 mm 宽的缝，想在 5 米开外看到稳定的夫琅禾费图样，估算 $F = (2\times10^{-3})^2/(6.328\times10^{-7}\times 5)\approx 1.3$，其实还处于过渡区；要进入 $F \lesssim 0.1$ 的远场区，观察距离需要到几十米量级。

从单缝到光栅：多缝干涉如何锐化主极大

最经典的夫琅禾费衍射对象是单缝。设缝宽为 $a$，入射平面波垂直照射，远场强度分布为

$$I(\theta) = I_0 \left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2,\qquad \beta = \frac{\pi a\sin\theta}{\lambda},$$

其中 $\theta$ 是衍射角。强度包络呈中央宽大、两侧逐级变暗的形态，暗纹出现在

$$a\sin\theta = m\lambda,\qquad m = \pm1,\pm2,\dots$$

也就是说，单缝本身就把入射光展开成一个角度范围约 $\pm\lambda/a$ 的中央主瓣；缝越窄，展开得越开。

把单缝换成间距为 $d$ 的多条缝，情况就丰富起来：每条缝的衍射包络仍是上面的 $\mathrm{sinc}^2$ 形状，但缝与缝之间的光还会互相干涉。当相邻缝到观察点的光程差正好是波长的整数倍时，干涉相长，形成又亮又窄的主极大（principal maxima），方向满足光栅方程（grating equation）

$$d\sin\theta = m\lambda,\qquad m = 0,\pm1,\pm2,\dots$$

缝数越多，主极大越窄越亮，而次极大相对越弱。下图对比了单缝、双缝和六缝光栅的强度分布：

单缝、双缝与光栅强度对比

图 3：单缝、双缝与六缝光栅的夫琅禾费衍射强度。单缝是平滑的 $\mathrm{sinc}^2$ 包络；双缝在包络内出现等间距干涉条纹；六缝光栅的主极大明显变窄变亮，位置满足 $d\sin\theta=m\lambda$（红虚线）。

衍射光栅因此成为光谱分析的核心器件：不同波长的光在同一条光栅下主极大方向不同，白色光会被展开成彩色光谱。以间距 $d=1\mu\text{m}$（约 1000 线/mm）的光栅为例，一级主极大（$m=1$）中，380 nm 的紫光出现在 $\theta\approx22.3^\circ$，760 nm 的红光出现在 $\theta\approx49.5^\circ$，两种颜色被清晰地分开。光栅光谱仪正是靠这个原理测量物质发射或吸收的光谱线。

衍射如何决定成像分辨率

镜头和望远镜的孔径不是狭缝而是圆孔。圆孔的夫琅禾费衍射图样是一个中央亮斑加一圈圈同心暗环，中央亮斑称为艾里斑（Airy disk），第一圈暗环的角位置为

$$\theta = 1.22\frac{\lambda}{D},$$

其中 $D$ 是圆孔直径。这意味着再理想的透镜，点光源的像也不是一个点，而是一个有尺寸的艾里斑。

两个靠得很近的点光源，它们的艾里斑会重叠。瑞利判据（Rayleigh criterion）给出一个实用标准：当一个点源的艾里斑中心恰好落在另一个点源的第一暗环上时，认为两个点“恰好可分辨”。这时两个点的角间隔正是 $\theta = 1.22\lambda/D$。

艾里斑与瑞利判据

图 4：左图为圆孔夫琅禾费衍射的艾里斑径向强度，第一暗环位于 $D\sin\theta=1.22\lambda$；右图是两个点源的艾里斑相距 $1.22\lambda/D$ 时的叠加，中央出现约 0.74 倍峰值的凹陷，即瑞利判据的临界情形。

这个公式解释了望远镜和相机的设计逻辑：口径 $D$ 越大、波长越短，分辨角越小。例如哈勃空间望远镜的主镜直径 2.40 m，对 550 nm 的平均可见光波长，瑞利分辨角约为 $2.80\times10^{-7}$ 弧度，换算到 500 公里远的观察距离，约对应 14 cm 的线尺度。当然，实际系统的分辨率还受像差、大气扰动和探测器采样等因素影响，衍射极限只是理论上限。

值得注意，瑞利判据描述的是远场（夫琅禾费）条件下的非相干点源成像；显微镜等近距离成像系统通常用数值孔径（numerical aperture，NA）改写横向分辨距离，公式可化为 $x = 0.61\lambda n/\text{NA}$（$n$ 为介质折射率）。这个结论与高斯光束的发散角公式一脉相承：有限孔径必然带来有限角展宽，衍射极限是波动光学的普遍约束。

意义与展望

衍射是波动光学最基本的“语法”之一：成像要看艾里斑和瑞利判据，光谱分析靠光栅方程，光刻和显微成像要考虑衍射极限，超表面、全息、傅里叶光学等方向也都在衍射这个框架上展开。理解了惠更斯-菲涅尔原理和两种近似的适用范围，再去看这些更复杂的系统，会更容易抓住本质。

从原理走向更广阔的应用，有几个方向值得关注。一是近场光学与超分辨成像：远场衍射极限虽然严格，但近场探测、受激发射损耗显微术、单分子定位和结构光照明等方法可以绕开它，把分辨率推进到几十纳米甚至更小。二是计算成像与相位恢复：夫琅禾费图样本质上是孔径光场的傅里叶变换，这个关系让“从衍射图样反推相位”成为可能，无透镜成像、全息重建都建立在这条思路上。三是亚波长结构调控：超表面用亚波长单元精确控制每个位置的相位和振幅，相当于把“衍射元件”的设计自由度推到了新尺度。

也需要说明适用边界：本文的标量衍射和傍轴近似在数值孔径较小、偏振影响不显著时足够准确；当结构尺寸接近波长、或者需要严格分析偏振和金属结构时，就要转向矢量衍射方法。另外，实际系统的分辨率不会自动达到衍射极限，像差、制造误差、光源相干性和探测器噪声都会压低性能——衍射极限是天花板，不是保证值。

参考资料

  1. Maciej Lisicki, Ludmila Buller, Michal Oszmaniec, Krzysztof Wojtowicz, “Dynamic transition between Fresnel and Fraunhofer diffraction patterns - a lecture experiment,” arXiv:0803.0120, 2008. https://arxiv.org/abs/0803.0120
  2. Shyamal Biswas, Rhitabrata Bhattacharyya, Saugata Bhattacharyya, “Explicit derivation of the Fraunhofer diffraction formula for oblique incidence,” arXiv:2104.08073, 2021. https://arxiv.org/abs/2104.08073
  3. Rüdiger Paschotta, “Diffraction,” RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/diffraction.html
  4. OpenStax, “4: Diffraction,” University Physics Volume 3 (via Physics LibreTexts). https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_(OpenStax)/University_Physics_III_-_Optics_and_Modern_Physics_(OpenStax)/04%3A_Diffraction
  5. OpenStax, “4.6: Circular Apertures and Resolution,” University Physics Volume 3 (via Physics LibreTexts). https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_(OpenStax)/University_Physics_III_-_Optics_and_Modern_Physics_(OpenStax)/04%3A_Diffraction/4.06%3A_Circular_Apertures_and_Resolution
  6. MIT OpenCourseWare, “2.71 Optics (Spring 2009).” https://ocw.mit.edu/courses/2-71-optics-spring-2009/